Что такое гипотеза ABC?

Гипотеза ABC является замечательной гипотезой, впервые выдвинутой в 1980 году Джозефом Эстером из Парижского университета и Дэвидом Массером из математического Института Базельского университета в Швейцарии, который в настоящее время считается одной из самых важных нерешенных проблем в теории чисел (но см. раздел ниже этого введения). Если бы это было доказано правильно, доказательства многих других известных гипотез и теорем последовали бы немедленно – в некоторых случаях всего в нескольких строках. Например, чрезвычайно сложное текущее доказательство последней теоремы Ферма уменьшится до менее чем страницы математических рассуждений. Гипотеза ABC обезоруживающе проста по сравнению с большинством глубоких вопросов в теории чисел и, кроме того, оказывается эквивалентной всем основным проблемам, связанным с диофантовыми уравнениями (уравнениями с целыми коэффициентами и целыми решениями).

Только несколько понятий должны быть поняты, чтобы понять гипотезу ABC. Квадратное число-это целое число, которое не делится на квадрат любого числа. Например, 15 и 17 кв., а 16 (кратно 42) и 18 (кратно 32) не. Площадь свободной части целое число N, обозначается ПМК(н) - это большая площадь-бесплатный номер, который может быть сформирован путем перемножения простых множителей числа N. Таким образом, для N = 15, простые множители 5 и 3, и 3 × 5 = 15, площадь бесплатному номеру. So sqp (15) = 15. С другой стороны, для n = 16 простые множители равны 2, Что означает, что sqp(16) = 2. Аналогично, sqp (17) = 17 и sqp(18) = 6. В общем случае, если n не содержит квадратов, то свободная от квадратов часть n равна N; в противном случае sqp(n) представляет собой то, что осталось после устранения всех факторов, создающих квадрат. Другими словами, sqp (n) является произведением различных простых чисел, которые делят n. Например, sqp (9) = sqp(3 × 3) = 3 и sqp (1400) = sqp(2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 7) = 2 × 5 × 7 = 70.

Гипотеза ABC имеет дело с парами чисел, которые не имеют общих факторов. Пусть A и B-два таких числа, а C-их сумма. Например, если A = 3 и B = 7, то C = 3 + 7 = 10. Теперь рассмотрим свободную от квадрата часть произведения A × B × C: sqp (ABC) = sqp(3 × 7 × 10) = 210. Для большинства вариантов A и B sqp(ABC) больше, чем C, как в примере выше. Другими словами, sqp(ABC)/C > 1. Однако иногда это не так. Например, если A =1 и B = 8, то C = 1 + 8 = 9, sqp (ABC) = sqp (1 × 8 × 9) = sqp(1 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 1 × 2 × 3 = 6, и sqp (ABC) / C = 6/9 = 2/3. Аналогично, если a = 3 и B = 125, соотношение 15/64, и если A = 1 и B = 512, коэффициент 2/9.

Дэвид Массер доказал, что отношение sqp(ABC) / C может быть сколь угодно малым. Другими словами, при любом числе больше нуля, независимо от того, насколько мало, можно найти целые числа A и B, для которых sqp(ABC)/C меньше этого числа. Напротив, гипотеза ABC утверждает, что [sqp (ABC)]n/C достигает минимального значения, если n любое число больше 1 – даже такое число, как 1.0000000000001, которое едва превышает 1. Крошечное изменение в выражении имеет огромное значение в его математическом поведении. Гипотеза ABC фактически переводит бесконечное число диофантовых уравнений (включая уравнение последней теоремы Ферма) в одно математическое утверждение.

Гипотеза ABC доказана?

В 2012 году шин Мочизуки утверждал, что доказал гипотезу ABC, используя новый набор методов, которые он называет "межуниверсальной геометрией"-обобщение основ алгебраической геометрии. В двух словах, Мочизуки разработал новую схему математических объектов, которые, по его мнению, он понимает достаточно хорошо, чтобы применить к доказательству этой давней проблемы в Диофантовом анализе.

Это займет некоторое время для других математиков, чтобы проверить доказательство Мотидзуки, потому что сначала им придется знакомиться с миром межнациональной универсальной геометрией. Но Репутация Мочизуки достаточно высока, и гипотеза достаточно важна, что усилия будут приложены.