В одинаковых надувных резиновых лодках мы с при­ятелем отправляемся на рыбную ловлю. На якорь мы ста­новимся почти рядом. И удочки у нас одинаковые, и по­плавки, и крючки. Разница только в одном — в улове.

Вот и на этот раз. Когда дома мы взвесили свою добычу, оказалось, что приятель выловил четыре килограмма рыбы, а у меня едва набралось три. Ну не обидно ли?

Правда, во время последней рыбалки кое-что стало проясняться. Я заметил, что приятель доставал нажив­ку не так, как я — из банки, где она лежала навалом, а вынимал ее каждый раз из отдельного бумажного па­кетика.

Для чего все это нужно, я, признаться, не понимал.

• Как это тебе удалось наловить рыбы почти в полтора раза больше, чем мне? Неужели потому, что ты завернул наживку, как в гастрономе, в бумагу?

Настроение у моего приятеля после успешного лова бы­ло превосходное.

• Представь себе, дело действительно в бумажках. И еще кое в чем...

Вскоре на листке, вырванном из тетрадки, появилась табличка с записью игры «Рыбак — рыбка».

ИГРА «РЫБАК — РЫБКА»

РЫБКА

Худший результат рыбака

3

4*

Худший        515                  g

результат рыбки

Секрет удачи моего приятеля оказался вот в чем.

Мы обычно брали наживку двух разных видов: шарики из теста и червяки. На тесто лучше шла маленькая рыбка, ее, как говорили бывалые рыбаки, можно было наловить до шести килограммов, а на червяков — большая — улов до­стигал пяти килограммов.

Так как маленькая рыбка давала больший улов, я пред­почитал насаживать на крючок тесто. Но, видимо, тесто нравилось и большим рыбкам тоже. Они выхватывали на­живку из-под носа у маленьких рыбок, а сами при этом на крючок попадались редко. Отсюда и мой результат — все­го три килограмма.

Мой приятель пошел иным путем. Вначале он, как и я, пытался найти лучший ход. Мы знаем* что для этого надо попробовать отыскать седловую точку игры. Но отмеченный звездочкой лучший из худших результатов рыбака — четы­ре килограмма, а рыбки — пять килограммов. Цифры раз­ные — значит, седловой точки нет.

Давайте вдумаемся в эти цифры.

Лучший из худших, то есть надежный результат рыба­ка — четыре килограмма — означает, что я в любом слу­чае могу рассчитывать на такой улов. Но для рыбки самый малый надежный результат — пять килограммов. Иными словами, на крючок готово попасть пять килограммов ры­бы, а я могу взять всего четыре килограмма.

Здесь что-то не так. Ведь ни один из ходов рыбака не гарантирует улов более четырех килограммов. Где выход из положения?

Выход заключается в том, что рыбак должен здесь при­менять не один-единственный ход, подобно тому, как это де­лалось во всех предшествующих играх, а оба, чередуя их

умным образом. Такой план действий называется смешан­ным.

Для того чтобы найти смешанный план игры, удобно воспользоваться, как мы это уже не раз делали, графиче­ским приемом. Он показан в верхней части рисунка.

По горизонтальной оси в любом масштабе отложим от­резок, длина которого равна единице. Из начала и из кон­ца этого отрезка восстановим перпендикуляры АС и BD и на них построим шкалы, на которых можно отсчитывать вес рыбы до десяти килограммов. Причем, на А С будем откладывать результаты того хода рыбака, при котором он насаживает тесто, а на BD — результаты другого хода, при котором на крючке червяк.

Вначале рассмотрим результаты игры для больших ры­бок. Как видно из таблицы, это 3 килограмма для теста и 5 килограммов для червяка. На перпендикуляре АС появит­ся соответствующая точка 3 кг, а на перпендикуляре BD — точка 5 кг. Соединим эти точки прямой линией и напишем на ней для памяти «Большая рыбка».

• Затем проделаем то же самое для маленьких рыбок. На перпендикуляре АС появится точка 6 кг, а на BD — точка кг. Соединим эти точки прямой с надписью «Маленькая рыбка».

Далее поступим так же, как и во всех предыдущих иг­рах: вначале найдем худшие возможные результаты ры­бака, а затем из них выберем наилучший.

Худшие результаты рыбака, как видно из нашего рисун­ка, обозначены жирной ломаной линией, соединяющей наи­меньшие уловы на тесто и на червяка — точки 3 кг и 4 кг. Лучший из этих худших результатов получается в точ­ке Я — месте излома линии. Это наиболее надежный га­рантированный результат. Он равен, если посмотреть на правую шкалу, 47г килограмма. Как мы и предвидели, этот результат находится между отмеченными звездочками в таблице худшим результатом рыбака — 4 кг и рыбки —

• кг.

Теперь остается только сообразить, какой нужно при­нять смешанный план, чтобы этого результата добиться: требуется узнать, в каком соотношении, как часто рыбак должен применять тесто и червяка.

Ответ на этот вопрос также дает график на рисунке.

Сначала рассмотрим, как подбираются частоты приме­нения теста и червяка при игре с большой рыбкой. Для это­го увеличим интересующую нас часть графика и рассмот­рим ее отдельно, в нижней части рисунка.

Обозначим результат первого хода рыбака — «тесто» — буквой а, второго хода — «червяк» — буквой с, а получен­ный надежный результат — буквой Ъ. Обозначим также ча­стоту применения первого хода буквой ч, тогда очевидно, что второй ход должен применяться с частотой 1— ч.

Ясно, что при смешанном плане игры надежный резуль­тат должен быть равен сумме произведений результатов обо­их ходов на соответствующие частоты их применения:

Ь=аХч+с( 1—ч)

Пользуясь схемой, помещенной в нижней части рисунка, легко доказать, что нужная нам частота ч есть не что иное, как участок горизонтальной оси между бис. Действитель­но, если мы проведем через точку Я пунктирную горизон­тальную линию gk, то получим два подобных треугольника qpH и keH, для которых можно написать:

PJ,           gH

ke kH

Подставим в эту формулу величины соответствующих сторон треугольников, которые можно снять прямо с ри­сунка :

pg=b—a; ke = c—b; gH = 1—ч\ kH—ч.

Получим:

Ь—а     с—Ъ

1—ч ~~ ч

Или, после несложных преобразований:

(Ь—а)Хч = {с—Ь)Х(1—ч); Ьч—ач = с(1—ч)—Ь(1—ч);

ЬХч—аХч = сХ(1—ч)—Ь+ЬХч;

Ь=аХч+сХ(1—ч).

Это и есть формула надежного результата, подтвер­ждающая, что для его получения необходимо чередовать первый ход (тесто) с частотой ч и второй ход (червяк) с ча­стотой 1—ч.

Из рисунка видно, что

ч = 0,25, а 1—4 = 0,75.

Следовательно, рыбак должен применять свой первый ход в три раза реже, чем второй:

0,25         1

0,75         3 •

В среднем на каждые три червяка должно приходиться одно тесто. Только в этих условиях и можно надеяться по­лучить лучший надежный результат 47г килограмма. Вот он:

6 = аХ**+^сХ(1 — 4)=3X0,25+5X0,75 = 0,75+3,75 = 4,5 кг.

К подобным же выводам можно прийти, изучая нужное чередование наживки и для малой рыбки. И здесь, чтобы получить средний результат 47г килограмма, тесто и чер­вяк должны чередоваться в соотношении 1:3.

Ну, а причем же тут загадочные бумажные пакетики, из которых извлекалось то тесто, то червяки?

Оказывается, в этом «священнодействии» есть опреде­ленный смысл. Как мы знаем, рыбаку нужно чередовать наживку в соотношении 1:3. Такие частоты должны полу­чаться в среднем, после многих забрасываний удочки — ходов рыбака. Каждый же отдельный ход должен быть случайным, неожиданным для рыбки. Иначе она приноро­вится к определенной наживке, будет ее ждать и не даст себя обыграть.

Вот мой приятель и разложил кусочки теста и червяков в пакетики. Пакетиков с червяками было заготовлено ров­но в 3 раза больше, чем с тестом. Причем, даже сам рыбак не знал, какая наживка в какой пакетик попала. Так и по­лучалось, что каждый ход был для рыбок сюрпризом, а в среднем выполнялся наилучший смешанный план ловли.

В этом-то и заключался секрет успеха премудрого ры­болова.

* * *

Навыки, полученные в предыдущих рассказах, помо­гут нам «выловить» и счастливый конец старой сказки о витязе на распутье.