Кто из нас не мечтал заглянуть в завтрашний день?

Предсказание будущего, предвидение грядущих событий всегда было заветной мечтой людей.

«Скажи мне, кудесник, любимец богов, что сбудется в жизни со мною?» — вопрошает мудрого старца князь Олег. Мы все помним, к чему привело князя желание заглянуть в грядущее.

По-настоящему предсказывать будущее умеет только на­ука. Обычная арифметика, например, предсказывает, сколь­ко достанется яблок каждому из трех ребят, если у них на всех шесть яблок. Физика предсказывает, что случится с во­дой, если нагреть ее до температуры 100°.

А вот теория вероятностей — может предсказать, как поведет себя случай, каков будет в среднем результат того или иного случайного явления.

И все эти научные предсказания можно проверить — сбудутся ли они.

Давайте же попробуем научиться предсказывать резуль­таты некоторых случайностей, встречающихся в нашей жизни. А для того чтобы иметь возможность проверить пра­вильность наших предвидений, выберем такие случаи, исхол которых легко установить.

Прежде всего раздобудьте сто любых билетов. Годятся билеты трамвайные, троллейбусные, автобусные и даже би­леты в кино. Номера билетов, конечно, будут самые разно­образные. Нужно только, чтобы каждый из них состоял из шести цифр.

Уложив эти билеты в любом порядке, мы можем счи­тать, что все их номера случайны. Вот с этими-то случайно­стями мы и будем иметь дело.

Вооружившись пачкой билетов, приступим к работе.

Предсказание первое. Сколько всего окажется в пачке билетов с четной цифрой в конце номера?

Часть номеров билетов оканчивается на четные числа, а часть — на нечетные. Всего может быть десять разных однозначных цифр. Если считать ноль четным числом, тех и других цифр будет по пять — поровну.

Требуется предсказать, сколько всего в нашей пачке би­летов, оканчивающихся на четную цифру (сокращенно — четных билетов).

Думаю, что это предсказание все сделают одинаково. А именно — по формуле вероятности:

Вероятность появления четного билета =

= число благоприятствующих случаев _ 5 __ q 5 общее число равновозможных случаев io

МО числа четных билетов = 100X0,5 = 50 билетов.

Остается произвести проверку. В своей пачке вы навер­няка найдете примерно 50 четных билетов.

Я говорю «примерно» потому, что мы получили матема­тическое ожидание (МО), или среднеожидаемое число биле­тов. У одного из вас может быть немного больше четных билетов, чем 50, у другого меньше, но больших ошибок в нашем предсказании не будет.

Предсказание второе. Сколько окажется четных билетов в любом количестве билетов, взятых наугад из пачкай? Возьмем из пачки наугад несколько билетов. Часть из них может оказаться четными, а часть — нечетными. Требуется предсказать, какое следует ожидать число би­летов с четными номерами.

Мы знаем, что вероятность быть четным (или нечетным) для одного билета равна 0,5.

Нам известно также, как рассчитать вероятность два ра­за подряд вытянуть четный (или нечетный) билет.

Она, по теореме умножения вероятностей, равна 0,5X0,5 = 0,25, или 25%.

Вероятность три раза подряд вытянуть четный билет равна 0,5X0,5X0,5 = 0,125, или 12,5%.

Таким путем можно составить интересную таблицу ве­роятностей появления различного числа четных билетов. Например, мы вытянули из пачки наугад 5 любых би­летов и предсказываем, что среди них 2 билета четных. Так вот, вероятность такого предсказания равна 31,2 процента.

Из этой таблицы видно, что точно предсказать, какое количество из вытянутых наугад билетов окажется четны­ми, нельзя — все вероятности этих событий меньше 50%.

Но зато можно сказать, какое количество четных биле­тов из числа вынутых наиболее вероятно. Например, если мы взяли 5 билетов, то наиболее вероятно, что 2 из них будут четными, а 3 нечетными (или наоборот).

Можно также сказать, что весьма маловероятно вытя­нуть подряд 4 или, тем более, 5 четных билетов.

Такие ответы, конечно, мало похожи на настоящие про­рочества. Поэтому давайте несколько изменим смысл пред­сказания.

Будем предсказывать, не сколько будет точно четных билетов, а не менее какого количества четных (или не­четных) билетов содержится среди вытянутых нами из пач­ки. Помните задачу «В какой руке?». Для этого нам пона­добится специальная таблица, рассчитанная по правилам теории вероятностей.

ВЕРОЯТНОСТЬ ПОЯВЛЕНИЯ НЕ МЕНЕЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ЧИСЛА ЧЕТНЫХ БИЛЕТОВ (В ПРОЦЕНТАХ)

Например, мы вытянули из пачки наугад 5 любых би­летов и предсказываем, что среди них не менее двух биле­тов — четных. Оказывается, вероятность такого предсказа­ния, как видно из таблицы, очень большая — 81,2 процен­та. Подобное предсказание уже можно делать без опасения, что оно не сбудется.

Сделаем с помощью этой таблицы несколько смелых предсказаний.

Можно, например, утверждать, что из трех наугад вы­тянутых билетов не менее чем один будет четным, а из пяти — четными будут не менее двух билетов.

Эти предсказания можете легко проверить сами.

Между прочим, с помощью этой нехитрой таблицы мож­но приподнять завесу тумана, прикрывающую «деятель­ность» всевозможных гадалок и прорицателей. Предполо­жим, гадалка предсказала пять некоторых событий, кото­рые в равной мере могут как произойти, так и не произой­ти, — точно также, как в равной степени могут появляться четные или нечетные билеты. Это может быть, например, «приятная встреча», «лихой недуг», «дальняя дорога» и то­му подобное.

Вероятность того, что сбудутся все пять событий, ни­чтожно мала — всего 3,1 процента. Но легковерному чело­веку вполне достаточно, если случится хотя бы не менее двух — трех из них. А такое количество сбывшихся проро­честв — то есть вытянутых четных билетов — происходит с высокой вероятностью — до 81,2 процента.

И вот часть сделанных гадалкой предсказаний сбывает­ся, а темные люди и не подозревают, что приобщились к «таинствам» теории вероятностей.

Предсказание третье. Сколько нужно взять на­угад билетов из пачки, чтобы среди них оказался и «счаст­ливый?» Самым «счастливым» билетом, как известно, счи­тается такой, в котором суммы трех первых и трех послед­них цифр равны. Все, конечно, понимают, что это чепуха, но почему-то некоторые очень внимательно рассматривают свои кусочки бумаги с шестизначным номером...

Так вот, требуется предсказать, сколько нужно взять би­летов, чтобы добраться до «счастливого».

Для того чтобы каждый смог подсчитывать необходимое количество билетов, в которых попадается «счастье», вос­пользуемся еще одной таблицей, которую дает нам арифме­тика случайностей.

Для того чтобы «войти» в эту таблицу, нужно прежде всего знать вероятность счастливого билета.

Рассчитать самим эту вероятность довольно сложно. По­этому воспользуемся готовым результатом: для наших ус­ловий вероятность вытянуть «счастливый» билет равна при­мерно 5,5 процента. Эта цифра означает, что в среднем на 100 билетов 5—6 номеров окажутся «счастливыми». Вы можете это легко проверить, перебрав свою пачку билетов, а также пачки товарищей.

Второе, что нам нужно знать, чтобы воспользоваться таблицей, — это желаемую вероятность вытянуть «счастли­вый» билет.

Узнать ее проще простого. Какую хочешь получить ве­роятность — та и будет желаемая. Если вы очень хотите быть счастливыми — получить «счастливый» билет почти наверняка, — берите 80 и 90 процентов, если у вас желания более скромные — ограничьтесь меньшей вероятностью.

Но только имейте в виду, что чем выше желаемая ве­роятность, тем больше билетов придется перебрать, прежде чем найдется «счастье».

Вот пример.

Вероятность «счастливого» билета, как мы уже знаем, равна примерно пяти процентам. Если вас устраивает желае­мая вероятность 50 процентов, то, как видно из таблицы, можно ограничиться четырнадцатью билетами. Если же вы желаете получить «счастливый» билет с вероятностью 80 процентов — надо будет просмотреть 31 билет.

Цифры 14 и 31 стоят в таблице на пересечении желае­мой вероятности и вероятности «счастливого» билета.

Проверить это предсказание нетрудно. Просто возьмите

из пачки наугад 31 билет и проверьте. Один из них почти наверняка будет счастливым.

Если же у вас нет своей пачки билетов, не беда. Можете просто замечать номера тех билетов, которые вы берете в трамвае, троллейбусе, автобусе. На 31 билет с высокой ве­роятностью 80 процентов хотя бы один билет должен быть «счастливым».

Третье предсказание, так же, как и предыдущее, годит­ся, конечно, не только для игры с билетами.

Вы можете немало удивить своих друзей, если уверенно предскажете, например, сколько нужно взять лотерейных билетов, чтобы обязательно получить выигрыш.

Представим, что на школьном вечере устроили лотерею. Сделано всего 250 билетов. Известно, что из них 50 содер­жат выигрыш, а остальные 200 — пустые.

Вы решили выиграть во что бы то ни стало хоть один раз. Вот как это нужно сделать.

Сначала определим вероятность выигрыша — вероят-

50

ность «счастливого» билета. Она равна  - £7Г =0,2, или

250

двадцати процентам.

Затем установим желаемую вероятность вытянуть «сча­стье». Чтобы случай не подкачал, возьмем ее побольше — 90 процентов.

«Входим» с этими вероятностями в таблицу и получаем на пересечении количество билетов — 10. Теперь покупай­те 10 билетов и можете быть уверены, что один из них почти обязательно выиграет.

Таким же путем можно высчитать, и сколько нужно иметь лотерейных билетов, чтобы наверняка выиграть ав­томобиль. Боюсь только, что этих билетов потребуется не­мало.

А вот еще один пример, который, возможно, пригодится в трудную минуту.

Вы написали сочинение по литературе или решили не­сколько сложных задач по математике на экзамене и со­мневаетесь, нет ли ошибок.

Сколько раз нужно проверить работу, чтобы быть уве­ренным в успехе?

Снова обратимся к таблице. Каждый сумеет примерно оценить свои возможности находить ошибки при однократ­ном просмотре работы. Положим, вы за один раз обычно вылавливаете только половину ошибок — 50 процентов. Тогда для того, чтобы желаемая вероятность успеха была 80 процентов, нужно проверить работу два раза (что, кстати говоря, хорошие ученики и делают).

А тот, кто при вероятности ошибки 50 процентов прове­ряет свою работу только один раз, может рассчитывать на успех лишь с вероятностью 60 процентов. Это тоже показы­вает наша таблица.

Итак, мы убедились, что предсказания теории вероят­ностей сбываются. Давайте теперь посмотрим, как человек использует этот волшебный дар предвидения случайного, дар, которым вооружает его наука.