Ребята придумали необычное состязание.

На Днепре, недалеко от Запорожья, есть несколько де­сятков небольших островков, на которых никто не живет. Каждому классу во время летних каникул был выделен один такой необитаемый остров. Была поставлена задача полностью его освоить, составить карту острова, определить размеры, площадь и наладить на нем походную жизнь в ду­хе настоящего Робинзона. Класс, который лучше всех спра­вится с этой задачей, получает приз — туристскую путевку в Москву.

Вначале все шло довольно гладко. Ребята построили хи­жины, удили рыбу самодельными удочками, добывали огонь с помощью кремня.

Но не это было самым трудным.

Наиболее сложным оказалось измерить остров и соста­вить его карту — ведь у ребят-робинзонов по условиям со­стязания не было никаких измерительных приборов.

С честью выйти из трудного положения сумел лишь один из всех классов. Вот что придумали ребята.

Определение размеров острова они решили произвести с помощью древнейшего измерительного инструмента — че­ловеческих ног.

Мера длины — один шаг. Измерения поручили «земле­меру» — самому длинноногому из ребят. Точных размеров его шага, конечно, никто не знал, но зато каждый из два­дцати восьми школьников, высадившихся на остров, имел свое представление о величине этой живой меры длины. Бы­ли опрошены все до единого. Каждый назвал свою цифру. Затем цифры сложили и разделили на 28 — число ребят. Получилась средняя предполагаемая длина шага «земле­мера». А так как каждый из ребят называл свою, случай­ную цифру размера шага, то полученная средняя величи­на оказалась средней ожидаемой длиной шага (вспом­ним ЛЮ), очень близкой к его действительному размеру. Впоследствии, вернувшись на «Большую землю», школьни­ки измерили шаг «землемера» настоящей линейкой и были поражены, насколько точно сработал случай.

Определив единицу длины, можно было приступать к работе. «Землемер» прошагал остров вдоль и поперек. Те­перь уже нетрудно было узнать его размеры по различным направлениям. Остров оказался довольно сложной формы, не похожей ни на одну из простых фигур.

Задача измерения площади усложнилась: ведь здесь уже не обойдешься, как для прямоугольника, простым пе­ремножением длины на ширину. Помогла смекалка и... арифметика случайностей.

Ребята нарисовали на песке карту острова. Это оказа­лось не очень трудным делом: все размеры острова сооб­щил «землемер».

Затем на карте около острова был описан обычный пря­моугольник. Его стороны, оказалось, имели размеры: дли­на 500 метров, а ширина 400 метров. Все это делалось, по­нятно, в масштабе. Ребята считали, что в 1 метре 1 кило­метр.

Прежде всего необходимо ответить на вопрос:         «Во

сколько раз площадь острова меньше, чем площадь описан­ного прямоугольника?». Можно написать:

площадь острова площадь острова

площадь прямоугольника ~ 500X400

Наши робинзоны сообразили, что эта формула похожа на формулу вероятности. Нужно только сделать так, чтобы площадь острова была числом интересующих нас благопри­ятствующих случаев, а площадь прямоугольника — числом всех равновозможных случаев. Для этого каждый из два­дцати восьми ребят по 10 раз подряд отошел от карты и затем, приблизившись к ней с закрытыми глазами, ткнул в нее пальцем. Сосчитали, сколько было случаев, когда па­лец попал в площадь острова (интересующие нас случаи), и сколько — в площадь всего прямоугольника, включая и вписанный в него остров (все возможные случаи).

Всего попаданий в остров было 140, а в прямоугольник попадали все во всех случаях: 10X28 = 280.

Теперь можно, с учетом формулы вероятности, напи­сать:

число     число

благоприятствующих случаев попаданий в  остров

общее число равновозможных^-число попаданий случаев         в прямоугольник

140 площадь острова          площадь               острова

280 ^— площадь прямоугольника ^— 500X400

Отсюда нетрудно найти:

140X500X400

площадь острова =             ggo          =100 000 квадратных метров =

= 0,1 квадратного километра.

Самая трудная задача состязания была решена.

МОНТЕ-КАРЛО

Впрочем, тут же, как всегда, появились сомневающиеся. А верно ли мы рассчитали площадь острова? Как прове­рить, что мы не ошиблись? Можно ли эту проверку сделать на необитаемом острове?

Оказалось, проверить правильность подобного расчета можно довольно интересным способом.

Кто-то из ребят тут же на песке нарисовал окружность радиусом в 1 метр и описал около нее квадрат. Сторона квадрата получилась равной двум метрам.

Затем все ребята повторили то, что делали с картой ост­рова: с закрытыми глазами в случайных местах касались

нового рисунка.

На этот раз оказалось, что всего в площадь круга ребя­та попали 220 раз, а во всю площадь квадрата — 280. Знакомым путем произвели расчет площади круга.

Площадь круга    число попаданий в круг    220

Площадь квадрата ~~ число попаданий в квадрат ~ 280 *

280 220

Площадь круга = площадь квадрата X 220 ⁼²Х2Х 280 ~

= 3,14 квадратных метра.

Полученная цифра что-то напоминает. Да ведь это же замечательное число я\ С его помощью можно рассчитать площадь круга любого радиуса. Если обозначить радиус круга буквой R, то площадь круга = ^R².

При радиусе 1 метр площадь его должна быть равна: s= ЗД4Х1² = 3,14 квадратных метра.

Все правильно. В этом и заключалась проверка. Теперь все увидели, что наш способ верен. Иначе откуда было бы появиться замечательному числу Пи?

Способ, с помощью кото­рого была рассчитана пло­щадь острова, в арифметике случайностей называется Монте-Карло. Название свое он получил в честь города Монте-Карло, столицы кня­жества Монако, крошечного государства на юге Европы.

Город Монте-Карло сла­вится сйоим игорным до­мом, в котором идет азарт­ная игра в рулетку. Рулетка устроена наподобие волчка. Выигрыш и проигрыш зави­сят от того, где остановится волчок-рулетка, после того как его раскрутить.

Какое же отношение имеет умный способ расче­та неизвестной площади к не очень умному способу убивания времени и денег в игорном доме?

На необитаемом острове для получения нужного ре­зультата был использован Случай. Случайным обра­зом, попадая в пределы ост­рова на карте, была опре­делена его площадь. Немно­го раньше, по случайным предположениям о длине шага «землемера», была установ­лена его средняя ожидаемая величина,

Его Величество Случай царствует и в игорном доме Мон­те-Карло. Это он указывает рулетке, где остановиться.

В родственных связях со Случаем и заключается причи­на появления столь неожиданных на первый взгляд тезок по имени Монте-Карло.

Время на острове бежало незаметно. Вот уже подошел день, когда робинзонов должны были снять с острова и до­ставить домой, на «Большую землю». Пароход ожидали примерно к восьми часам вечера.

Вечер наступил. Стемнело. Часов по условиям соревно­вания у ребят не было. Но очень хотелось узнать, скоро ли придет пароход. К счастью, такая задача уже не представ­ляла для ребят особого труда. Ведь существует способ Мон­те-Карло!

Каждый быстро назвал то время, которое, как ему каза­лось, было в этот момент. Все назвали, конечно, разные числа. Но из этих случайных чисел нетрудно было полу­чить среднее ожидаемое время. Для этого чйсла сложили и разделили на число ребят — 28.

Пароход не заставил себя долго ждать.

* * *

Для того чтобы с помощью способа Монте-Карло изме­рить длину какого-нибудь предмета, определить площадь или оценить время, вовсе не обязательно забираться на не­обитаемый остров. Все это можно сделать прямо в классе, дома или на улице. Для таких измерений не нужно ника­ких приборов, кроме карандаша и листка бумаги, либо кус­ка мела и классной доски. Арифметика случайностей к ва­шим услугам. Помните только, что и цифры, которые вы называете, должны быть случайными. А для этого давайте их независимо друг от друга.

Теория вероятностей поможет нам разобраться еще в од­ном любопытном деле.