Арифметика случайностей, подобно обычной арифметике, имеет дело со сложением и умножением. О том, как складываются и умножаются вероятности, и пойдет наш рассказ.

Когда садятся за шашки или шахматы, то первым делом кто-нибудь из партнеров берет в одну руку белую шашку или пешку, в другую — черную, прячет руки за спину, что-то там колдует и спрашивает: «В какой руке?» Так разыгрывают, кому играть «белыми», а кому «черными».

Впрочем, вопрос «В какой руке?» задается часто и тогда, когда никто и не собирается ни во что играть.

Например, вы на двоих с товарищем достали, увы, всего один билет в театр. Одному можно пойти. Кому? Помогает вопрос: «В какой руке?».

Волейбольный матч. Кому на какой стороне площадки начинать игру? Опять: «В какой руке?».

Читатель уже, конечно, сообразил, что «В какой руке?» — это дело все того же неуловимого случая. Ведь никто не может заранее предсказать точно, в какой руке окажется белая шашка или другой заветный жребий.

А что тут может сказать арифметика случайностей? Оказывается, кое-что может. Зададим ей несколько вопросов.

Вопрос первый. Какова вероятность угадать, в какой руке жребий? Отвечает формула вероятности.

Общее число равновозможных случаев — 2 (первый —¹ угадал; второй — не угадал).

Число благоприятствующих случаев — 1 (угадал).

Вероятность угадать, в какой руке жребий =

число благоприятствующих случаев 1

= —z       =—= 0,5, или 50%.

общее число равновозможных случаев 2

Точно так же находится и ответ на противоположный вопрос:        какова вероятность не угадать, в какой руке

жребий?

Вероятность не угадать, в какой руке жребий =

число благоприятствующих случаев 1

= —z       =—== 0,5, или 50%.

общее число равновозможных случаев 2      *

Много это или мало?

Смотрим на «градусник». Ни много, ни мало — ровно середина шкалы. Шансы угадать и не угадать равные. И это вполне справедливо. Поэтому-то таким честным способом охотно пользуются. Мы, конечно, исключаем жульничест­во. Хотя оно и бывает, но к теории вероятностей никакого отношения не имеет.

Правильно ли мы пользуемся жребием, отгадывая «В ка­кой руке?», можно легко проверить, задав следующий во­прос.

Вопрос второй. Какова вероятность угадать или не угадать, в какой руке жребий?

Общее число равновозможных случаев, как и при пер­вом вопросе, 2 (угадал, не угадал). Число благоприятствую­щих случаев — 2. Ведь для данного вопроса нас устраивают оба случая: угадал или не угадал.

По формуле вероятности:

вероятность угадать или не угадать, в какой руке жребий =

число благоприятствующих случаев              2

общее число равновозможных случаев “ 2

1,0, или 100%.

Этот ответ означает, что наш жребий всегда дает какой- нибудь один из двух возможных результатов (или угадал, или не угадал), то есть он срабатывает безотказно, как го­ворят, «на все сто».

Отвечая на второй вопрос, мы, сами того не ведая, при­менили одну из основных теорем арифметики случайно­стей — теорему сложения вероятностей.

Звучит эта теорема примерно так: вероятность того, что произойдет одно из двух взаимоисключающих событий — или одно, или другое, — равна сумме вероятностей этих со­бытий.

Доказать это довольно просто. Вспомним, как была най­дена вероятность угадать или не угадать, в какой руке жре­бий. Мы взяли число интересующих нас случаев — 2 — и разделили его на число всех возможных случаев — тоже 2. В ответе получили 1,0. Этот результат можно получить и иначе.

Перепишем решение так:

вероятность угадать или не угадать, 2           1-j-l         1              1

в какой руке жребий          ⁼ 2 ⁼         2              ⁼~2          ~2'

Отвечая же на первый вопрос, мы получили, что

1. Вероягносги не угадать, Вероятность угадать,
2. в какой руке жребий. ^— в какой руке жребий

Подставляя в предыдущую формулу вместо 7г ее значе­ния, получим подтверждение теоремы сложения вероятно­стей :

Вероятность угадать или не угадать, в какой руке жребий =*

₌ вероятность угадать, , вероятность не угадать, в какой руке жребий ' в какой руке жребий.

Это как раз и требовалось доказать.

А теперь вопрос посложнее.

Участнику школьного шахматного турнира приходится угадывать «В какой руке?» дважды. В этот день он по оче­реди встречается с двумя противниками.

Вопрос третий. Какова вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд?

Снова формула вероятности. Но общее число равновоз­можных случаев здесь будет другое. Оно равно 4 — по чис­лу возможных вариантов результатов двух угадыва­ний:

•  в первый раз угадал, а во второй — не угадал;
•  в первый раз не угадал, а во второй — угадал;
• в первый раз угадал и во второй — угадал;
• в первый раз не угадал и во второй — не угадал. Число благоприятствующих случаев — лишь один из

этих вариантов, тот, в котором повезло оба раза.

Применим формулу вероятности.

Вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд =

__ число благоприятствующих случаев         1

““ общее число равновозможньг* случаев ~ 4 ^- ’          * ^ИЛИ '°*

Это небольшая вероятность. Поэтому того, кто так здо­рово, два раза подряд, угадывает «В какой руке?», и назы­вают счастливчиком.

Попробуем переписать последний расчет немного по- другому :

вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд =

__L y--- = ^веР^{0ЯТН0СТЬ} угадать, ^ вероятность угадать,

4              2              2 в какой руке жребий ^Л в какой руке жребий.

Оказывается, рассчитывая вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд, мы незаметно для себя пе­ремножили вероятности угадывания жребия для первого и второго раза. Тем самым мы применили еще одну основ­ную теорему арифметики случайностей — теорему умножения вероятностей.

Смысл этой теоремы можно выразить так: вероятность того, что событие произойдет два раза подряд, равна произ­ведению вероятностей появления этого события первый и второй раз. Или (в более общем виде): вероятность совмест­ного появления каких-либо независимых событий равна про­изведению вероятностей этих событий.

Независимыми события называют в том случае, когда от появления одного из них вероятности остальных не ме­няются.

Теперь мы готовы к ответу на последний, самый слож­ный из наших вопросов.

Вопрос четвертый. Какова вероятность хотя бы один раз угадать, в какой руке жребий, при двух угады­ваниях?

Число всех возможных случаев при двух угадываниях мы уже знаем. Оно равно 4 — по числу возможных случа­ев — вариантов:

3. в первый раз угадал, а во второй — не угадал;
4. в первый раз не угадал, а во второй — угадал;
5. в первый раз угадал и во второй — угадал;
6. в первый раз не угадал и во второй — не угадал.

Число интересующих нас случаев здесь 3. Нам нужны

лишь те случаи, при которых есть угадывание. Это:

7. в первый раз угадал, а во второй — не угадал;
8. в первый раз не угадал, а во второй — угадал;
9. в первый раз угадал и во второй — угадал.
10. По формуле вероятности:
11. вероятность хотя бы один раз угадать, в какой руке жребий, при двух угадываниях =
12. число благоприятствующих случаев              3
13. общее число равновозможных случаев         4
14. 0,75, или 75%.
15. Этот же результат, чтобы не перебирать варианты (а их может быть очень много), попробуем получить с помощью уже известных нам теорем сложения и умножения вероят­ностей.
16. Сначала, согласно теореме сложения, получаем:
17. вероятность хотя бы один раз угадать, в какой руке жребий, при двух угадываниях =
18. вероятность угадать вероятность не угадать вероятность угадать = в первый раз и            + в первый раз и  + оба раза,
19. не угадать во второй угадать во второй
20. Мы применили теорему сложения, так как нам подхо­дит любой из трех вариантов событий, вероятности которых мы складываем (или первый, или второй, или третий).
21. Вероятности же событий при каждом варианте можно рассчитывать по теореме умножения. Например, для перво­го варианта:
22. вероятность угадать в первый раз и не угадать — во второй =
23. вероятность угадать, вероятность не уга- = в какой руке жребий, X дать, в какой руке в первый раз.            жребий, во второй раз.
24. Мы здесь пользуемся теоремой умножения, так как нам нужно, чтобы состоялись оба события, вероятности которых мы перемножаем (и первое и второе).
25. Раскрывая таким же путем значения всех слагаемых, мы придем к развернутой формуле:
26. вероятность хотя бы один раз угадать, в какой руке жребий, при двух угадываниях =
27. __ вероятность угадать, в какой у вероятность не угадать, в какой , руке жребий в первый раз ^л руке жребий во второй раз
28. .вероятность не угадать, в какой у вероятность угадать, в какой , ~*~руке жребий в первый раз    ^лруке жребий во второй раз '
29. .вероятность угадать, в какой у вероятность угадать, в какой

”^руке жребий, в первый раз * руке жребий, во второй раз. Формула получилась хотя и длинная, но простая (это все же лучше, чем наоборот). Подставим теперь в нее циф­ры и увидим, что в конечном счете все получилось как надо:

вероятность хотя бы один раз угадать, в какой руке жребий, при двух угадываниях=

1111113 = ~2 X у+уХ^- +-у Х-у =~4 = 0,75, или 75%.

75% — вероятность весьма приличная. Она наполняет сердца всех тянущих жребий надеждой, подводя научную базу под известное утешение оптимистов:     «Не повезло в

этот раз, повезет в следующий».

Утешиться этой мыслью придется и тем читателям, ко­торым разговор о теоремах арифметики случайностей пока­зался сложноватым.