Арифметика случайностей, подобно обычной арифметике, имеет дело со сложением и умножением. О том, как складываются и умножаются вероятности, и пойдет наш рассказ.
Когда садятся за шашки или шахматы, то первым делом кто-нибудь из партнеров берет в одну руку белую шашку или пешку, в другую — черную, прячет руки за спину, что-то там колдует и спрашивает: «В какой руке?» Так разыгрывают, кому играть «белыми», а кому «черными».
Впрочем, вопрос «В какой руке?» задается часто и тогда, когда никто и не собирается ни во что играть.
Например, вы на двоих с товарищем достали, увы, всего один билет в театр. Одному можно пойти. Кому? Помогает вопрос: «В какой руке?».
Волейбольный матч. Кому на какой стороне площадки начинать игру? Опять: «В какой руке?».
Читатель уже, конечно, сообразил, что «В какой руке?» — это дело все того же неуловимого случая. Ведь никто не может заранее предсказать точно, в какой руке окажется белая шашка или другой заветный жребий.
А что тут может сказать арифметика случайностей? Оказывается, кое-что может. Зададим ей несколько вопросов.
Вопрос первый. Какова вероятность угадать, в какой руке жребий? Отвечает формула вероятности. Общее число равновозможных случаев — 2 (первый —1 угадал; второй — не угадал). Число благоприятствующих случаев — 1 (угадал). Вероятность угадать, в какой руке жребий = число благоприятствующих случаев 1 = —z =—= 0,5, или 50%. общее число равновозможных случаев 2 Точно так же находится и ответ на противоположный вопрос: какова вероятность не угадать, в какой руке жребий? Вероятность не угадать, в какой руке жребий = число благоприятствующих случаев 1 = —z =—== 0,5, или 50%. общее число равновозможных случаев 2 * Много это или мало? Смотрим на «градусник». Ни много, ни мало — ровно середина шкалы. Шансы угадать и не угадать равные. И это вполне справедливо. Поэтому-то таким честным способом охотно пользуются. Мы, конечно, исключаем жульничество. Хотя оно и бывает, но к теории вероятностей никакого отношения не имеет. Правильно ли мы пользуемся жребием, отгадывая «В какой руке?», можно легко проверить, задав следующий вопрос. Вопрос второй. Какова вероятность угадать или не угадать, в какой руке жребий? Общее число равновозможных случаев, как и при первом вопросе, 2 (угадал, не угадал). Число благоприятствующих случаев — 2. Ведь для данного вопроса нас устраивают оба случая: угадал или не угадал. По формуле вероятности: вероятность угадать или не угадать, в какой руке жребий = число благоприятствующих случаев 2 общее число равновозможных случаев “ 2 1,0, или 100%. Этот ответ означает, что наш жребий всегда дает какой- нибудь один из двух возможных результатов (или угадал, или не угадал), то есть он срабатывает безотказно, как говорят, «на все сто». Отвечая на второй вопрос, мы, сами того не ведая, применили одну из основных теорем арифметики случайностей — теорему сложения вероятностей. Звучит эта теорема примерно так: вероятность того, что произойдет одно из двух взаимоисключающих событий — или одно, или другое, — равна сумме вероятностей этих событий. Доказать это довольно просто. Вспомним, как была найдена вероятность угадать или не угадать, в какой руке жребий. Мы взяли число интересующих нас случаев — 2 — и разделили его на число всех возможных случаев — тоже 2. В ответе получили 1,0. Этот результат можно получить и иначе. Перепишем решение так: вероятность угадать или не угадать, 2 1-j-l 1 1 в какой руке жребий = 2 = 2 =~2 ~2' Отвечая же на первый вопрос, мы получили, что
Подставляя в предыдущую формулу вместо 7г ее значения, получим подтверждение теоремы сложения вероятностей : Вероятность угадать или не угадать, в какой руке жребий =* = вероятность угадать, , вероятность не угадать, в какой руке жребий ' в какой руке жребий. Это как раз и требовалось доказать. А теперь вопрос посложнее. Участнику школьного шахматного турнира приходится угадывать «В какой руке?» дважды. В этот день он по очереди встречается с двумя противниками. Вопрос третий. Какова вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд? Снова формула вероятности. Но общее число равновозможных случаев здесь будет другое. Оно равно 4 — по числу возможных вариантов результатов двух угадываний:
этих вариантов, тот, в котором повезло оба раза. Применим формулу вероятности. Вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд = __ число благоприятствующих случаев 1 ““ общее число равновозможньг* случаев ~ 4 - ’ * ИЛИ '°*
Это небольшая вероятность. Поэтому того, кто так здорово, два раза подряд, угадывает «В какой руке?», и называют счастливчиком. Попробуем переписать последний расчет немного по- другому : вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд = __L y--- = веР0ЯТН0СТЬ угадать, ^ вероятность угадать, 4 2 2 в какой руке жребий Л в какой руке жребий. Оказывается, рассчитывая вероятность угадать, в какой руке жребий, два раза подряд, мы незаметно для себя перемножили вероятности угадывания жребия для первого и второго раза. Тем самым мы применили еще одну основную теорему арифметики случайностей — теорему умножения вероятностей. Смысл этой теоремы можно выразить так: вероятность того, что событие произойдет два раза подряд, равна произведению вероятностей появления этого события первый и второй раз. Или (в более общем виде): вероятность совместного появления каких-либо независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Независимыми события называют в том случае, когда от появления одного из них вероятности остальных не меняются. Теперь мы готовы к ответу на последний, самый сложный из наших вопросов. Вопрос четвертый. Какова вероятность хотя бы один раз угадать, в какой руке жребий, при двух угадываниях? Число всех возможных случаев при двух угадываниях мы уже знаем. Оно равно 4 — по числу возможных случаев — вариантов:
Число интересующих нас случаев здесь 3. Нам нужны лишь те случаи, при которых есть угадывание. Это:
”^руке жребий, в первый раз * руке жребий, во второй раз. Формула получилась хотя и длинная, но простая (это все же лучше, чем наоборот). Подставим теперь в нее цифры и увидим, что в конечном счете все получилось как надо: вероятность хотя бы один раз угадать, в какой руке жребий, при двух угадываниях= 1111113 = ~2 X у+уХ^- +-у Х-у =~4 = 0,75, или 75%. 75% — вероятность весьма приличная. Она наполняет сердца всех тянущих жребий надеждой, подводя научную базу под известное утешение оптимистов: «Не повезло в этот раз, повезет в следующий». Утешиться этой мыслью придется и тем читателям, которым разговор о теоремах арифметики случайностей показался сложноватым. | |
Просмотров: 1141 | |