Первая встреча: случай в цехе.

На одном из заводов несколько лет назад начали делать телевизоры. Телевизор — сложный прибор, поэтому вначале на заводе было много брака: в среднем из каждых двадцати телевизоров один вскоре после покупки оказывался не­исправным. Покупатели приуныли. Но прошел месяц, дру­гой, и работа на заводе наладилась. Возможность брака уменьшилась в пять раз. Как вы думаете, можно ли теперь спокойно покупать телевизор, сделанный на этом заводе? Призовем на помощь формулу вероятности.

Вероятность брака в начале производства = число неисправных телевизоров 1 ^— число всех телевизоров  “ 20         ^или ^ /о*

А теперь уменьшим вероятность в 5 раз:

5% : 5 = 1%.

Посмотрим на наш «градусник». 1% — это очень ма­ленькая вероятность. Ей так же далеко до вероятности 100%, при которой брак достоверен, как воде с температу­рой 1 градус до кипения. Поэтому можно считать, что, ско­рее всего, купленный телевизор окажется без брака.

Вторая встреча: случай в колхозе.

В колхозе готовились к уборке урожая. В прошлые годы уборка занимала 10 дней. На этот раз бюро прогнозов пред­сказало, что из намеченных для уборки десяти определен­ных дней в конце лета три дня (какие — неизвестно) будут с дождем.

Если дождь будет идти три дня подряд, он может со­рвать уборку, — значит, необходимо принять меры, чтобы сохранить урожай.

А может быть, дождь не будет идти три дня подряд, а пойдет, скажем, в первый, третий и седьмой дни десяти­дневки и не помешает уборке?

Все это во власти случая. Без арифметики случайностей здесь просто не обойтись.

Для того чтобы к нашей задаче применить формулу ве­роятности, необходимо определить как общее число равно­возможных случаев (знаменатель формулы вероятности), так и число благоприятствующих случаев (числитель фор­мулы).

Общее число равновозможных случаев здесь, видимо, ко­личество вариантов погоды, при которых дождь идет три любых дня из десяти. Например 1, 2, 3 или 1, 6, 10, или 1, 3, 7 и так далее.

Сколько может быть таких вариантов? Не торопитесь отвечать. Ответ получить не так-то просто. Давайте снача­ла потренируемся в определении количества вариантов по­годы с дождем по два дня из десяти. Это удобно сделать с помощью следующей таблицы.

ЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ ВАРИАНТОВ ПОГОДЫ, ПРИ КОТОРЫХ ДОЖДЬ ИДЕТ ПО ДВА ЛЮБЫХ ДНЯ ИЗ ДЕСЯТИ

На пересечении каких-нибудь двух дней получаем один вариант, или случай. Например, 1-й и 2-й дни дают на пе­ресечении 1, 2. Это означает, что может быть случай, когда дождь идет 1-й и 2-й дни десятидневки.

Всего, оказывается, можно выбрать таких 10ХЮ = 100 вариантов. Правда, не все они нам подходят. Те 10 случаев, которые оказались на диагонали таблицы, мы можем от­бросить — ведь это одни и те же два дня. Остается 100—10 = 90 вариантов.

Кроме того, если внимательно присмотреться к таблице, можно заметить, что сверху и снизу от диагонали каждый вариант имеет своего двойника. Например, варианту 1, 3 соответствует 3, 1. А ведь это одно и то же, так как поря­док дней не имеет для нас значения.

Значит, остается половина:

90 : 2 = 45 вариантов.

Теперь уже нетрудно рассчитать, сколько может быть вариантов, при которых дождь идет три любых дня из де­сяти. Для этого нужно к каждому из полученных 45 ва­риантов по два дня приписать еще по одному дню. Напри­мер, у нас был вариант 1, 2. К нему можно приписать лю­бой день от третьего до десятого — 1-й и 2-й дни у нас уже есть. Всего из случая 1,2 получится восемь различных слу­чаев: 1,2,3; 1,2,4; 1,2,5; 1,2,6; 1,2,7; 1,2,8; 1,2,9; 1,2,10. И так к каждому из 45 вариантов.

А всего будет 45X8 = 360 вариантов.

Это число придется поделить на 3, ибо каждый случай здесь записан трижды. Например, записано 1,2,3; 1,3,2; 2,3,1. Все это один и тот же случай. Поэтому число различ­ных вариантов будет в три раза меньше:

360 : 3 = 120 вариантов.

Это и есть знаменатель формулы вероятности — общее число равновозможных случаев, при которых дождь идет три любых дня из десяти.

Теперь найдем числитель формулы вероятности — бла­гоприятствующие случаи, когда дождь может идти в преде­лах десяти дней три дня подряд. Вот эти случаи: 1,2,3; 2,3,4; 3,4,5; 4,5,6; 5,6,7; 6,7,8; 7,8,9; 8,9,10.

Всего 8 вариантов.

По формуле вероятности сосчитаем:

8

вероятность = Топ ' — примерно 0,07, или 7%.

Вряд ли кто-нибудь мог без расчета догадаться, что ве­роятность угрозы урожаю колхоза так мала. Ведь это зна­чит, что мы сможем провести уборку без потерь с вероят­ностью, равной:

1—0,07 = 0,93, или 93%.

Можно сказать — почти наверняка. За урожай можно не опасаться.

Третья встреча: случай на птицефабрике.

Ребята приехали с экскурсией на птицефабрику. Всем хотелось посмотреть, как из яиц вылупляются маленькие цыплята. Кто-то из ребят поинтересовался, можно ли зара­нее узнать, сколько сегодня появится курочек и сколько пе­тушков.

Женщина в белом халате — зоотехник — сказала:

— Мы такие расчеты делаем каждый день. Ведь от это­го зависит, сколько мы получим продукции: яиц и мяса. Давайте сейчас посчитаем вместе.

В этом инкубаторе находится 1500 яиц. В среднем ку­рочек рождается 51%, а петушков — 49%. Надо еще учесть, что примерно 5% яиц не наклевывается вовсе.

Определим, сколько же появится курочек и сколько пе­тушков.

Вначале узнаем, сколько всего цыплят появится на свет. Для этого надо из общего количества яиц вычесть 5% — те, которые не наклюнутся.

Найдем 5% от 1500:

1500

■ ₁₀0 X 5 = 75 яиц.

Можно написать и иначе:

1500 X 0,05 = 75 яиц.

Значит, на свет появится 1500 — 75 = 1425 цыплят. Из них в среднем будет:

1425 X 0,51 = 725 курочек.

1425 X 0,49 = 698 петушков.

Вот и всё.

На птицефабрике мы увидели случай в новой одежке,

В цехе или в колхозе речь шла о том, как найти интере­сующую нас вероятность, зная общее число случаев.

А вот зоотехник рассказала ребятам, как, наоборот, рас­считать число интересующих нас случаев — количество ку­рочек и петушков, когда вероятность их появления уже известна. Это число называют математическим ожидани­ем — оно показывает среднее значение случайной величины.

В решенной нами только что задаче математическое ожидание, или, сокращенно, по первым буквам, МО, — это произведение числа всех возможных случаев на вероятность тех из них, которые нас интересуют. Нетрудно догадаться, что 51%, 49% и 5% — это наши старые знакомые — веро­ятности.

Возьмем формулу вероятности и найдем из нее, чему равно число интересующих нас благоприятствующих слу­чаев. Это и будет МО. В формуле оно стоит в числителе. Математическое

ожидание

МО = число благоприятствующих случаев =

= общее число равновозможных X вероятность случаев.

Заметим, что МО, в отличие от вероятности, выражается всегда именованным числом: количеством курочек или пе­тушков, числом метров или килограммов.

По смыслу математическое ожидание есть среднее зна­чение случайной величины, которое мы определяем заранее. Остается только подождать до тех пор, пока случай не под­твердит наши расчеты.

Математическое ожидание, как и вероятность, нужно для того, чтобы уверенно управлять случаем. О том, как математическое ожидание помогает принимать правильное решение, речь пойдет в следующем рассказе.