Познакомимся с еще одним «чудом» математического планирования.

Знаете ли вы, что создание современного корабля, самолета, автомобиля включает, как и изготовление обычного костюма или пальто, раскрой материала?

Из больших металлических листов выкраиваются заготовки для деталей кузова автомобиля, крыльев и фюзеляжа самолета, корпуса корабля. Затем эти заготовки отправляются под мощный пресс, который штампует из них необходимые детали.

На этот раз нам предстоит раскроить партию тонких металлических листов размером 6X13 метров каждый. Требуется из каждого листа получить по нескольку заготовок двух размеров: заготовка А — 5X4 метра, заготовка В — 2X3 метра. Каким же способом лучше всего вести раскрой?

Вначале сообразим, как эти заготовки могут распола­гаться ка большом листе. По­пробуем несколько возмож­ных способов раскроя.

Прежде всего позаботимся о том, чтобы получить из од­ного листа как можно боль­ше заготовок А — они круп­нее, чем заготовки В и для них поэтому труднее подыс­кать место на листе. Оказы­вается, однако, что больше трех заготовок А из листа выкроить невозможно.

Далее попробуем произво­дить раскрой так, чтобы на листе получилось по две заго­товки Л, и, наконец, по од­ной.

Каждому из этих спосо­бов раскроя присвоим свой номер:

способ № 1:

3 заготовки Л +1 заготовка В;

способ № 2:

2 заготовки А+6 заготовок В;

способ № 3:

1 заготовка Л+9 заготовок В.

При всех способах рас­кроя часть площади листа остается неиспользованной и идет в отходы. На рисунке эта площадь заштрихована. Конечно, нужно стремиться, чтобы таких отходов было поменьше. Для удобства ра­боты раскрой листов производится обычно не на каждую машину в отдельности, а сразу на целую партию.

Если не учитывать потребность в заготовках определенного типа, то может получиться, что какой-то одной из них окажется слишком много, а другой будет не хватать. В нашем случае потребовалось: 300 заготовок А и 1500 заготовок В.

Задача состоит в том, чтобы выбрать для этого количе­ства заготовок наилучший, наиболее экономный план рас­кроя, при котором заготовок будет как можно больше, а отходов — как можно меньше.

На этот раз обратимся за помощью к геометрии.

На обычном графике будем откладывать по оси х число заготовок Л, а по оси у — число заготовок В. Тогда каждо­му сочетанию заготовок Л и В на графике будет соответст­вовать определенная точка, обозначающая способ раскроя.

Например, 3 заготовки Л и 1 заготовка В дают точку «способ № 1»; 2 заготовки Л и 6 заготовок В дают точку «способ № 2» и так далее.

Соединяя эти точки между собой, можно получить ли­нии, соответствующие сочетанию различных способов рас­кроя.

Так, линия, соединяющая способы № 2 и № 3, означа­ет, что при раскрое польззчотся обоими этими способами.

На этом же графике нам нужно показать, что на 300 за­готовок Л требуется выкроить 1500 заготовок В. Но это означает, что на каждую заготовку Л должно приходиться пять заготовок В:

Л             300          1

В “ 1500 “ 5 '

Проведем на графике луч OL, так, чтобы он проходил через точку N — (1 заготовка Л, 5 заготовок В). Такой луч на всем своем протяжении будет соответствовать нужному соотношению заготовок Vs. И, видимо, наш план должен лежать где-то на этом луче. Но где же?

Нетрудно сообразить, что точка, соответствующая наи­лучшему плану, должна лежать одновременно и на луче OL и на одной из линий, дающих сочетание способов раскроя. При выборе линии способов раскроя следует иметь в виду, что чем дальше она будет отстоять по лучу OL от точки на­чала координат О, тем больше будет сделано заготовок, а значит, и тем лучше будет план. Это ясно из рисунка.

На графике хорошо видно, что этой, столь необходимой точкой может быть только точка М, лежащая на линии «способ № 2 — способ № 3». Действительно, она, с одной стороны, дает нам требуемое число заготовок (на одну заготовку А пять заготовок В), а с другой — это наиболее удаленная от начала координат точка сочетания этих спо­собов раскроя.

Для того чтобы в этом убедиться, попробуем воспользо­ваться каким-нибудь другим возможным сочетанием спосо­бов раскроя, например, № 1 и № 3: ведь соединяющая их пунктирная линия тоже пересекает луч OL. Однако при этом план становится явно хуже, так как точка пересечения М' расположена ближе к началу координат, чем точка М, и за­готовок поэтому получится меньше.

Итак, мы пришли к выводу, что наилучший план рас­кроя должен представлять собой сочетание способов рас­кроя № 2 и № 3.

Рассчитаем, в каком соотношении нужно применять эти способы. Для этого обозначим буквой Z долю листов, кото­рые будут раскраиваться по способу № 2. На долю спосо­ба № 3 тогда, понятно, придет 1—Z листов. При этом общее число заготовок А и В, получаемое способами № 2 и № 3, как видно из существа этих способов, равно:

число заготовок А = 2Х^+1Х(1—Z), число заготовок В — 6X^+9 Х(1—Z).

Теперь составим отношение числа заготовок А к числу заготовок В:

число заготовок A               2XZ+1 Х(1—Z)      300          1

число заготовок В ~ 6XZ+9X(1—Z) ~ 1500 “ 5

Преобразуем полученную пропорцию, с тем чтобы найти, чему равно Z:

[2XZ+1X(1-Z)]X5= [6XZ+9X(1-Z)1X1;

10Z+5—5Z==6Z+9—9Z;

10Z—5Z—6Z+9Z = 9—5;

8Z = 4;

Следовательно, мы должны половину всех листов кроить по способу № 2, а половину — по способу № 3. Это, кста­ти, видно и на нашем графике. Ведь луч OL проходит как раз посредине между точками «способ № 2» и «способ № 3».

Теперь сообразим, сколько же нужно иметь всего ли­стов, чтобы получить требуемое количество заготовок: 300—Л и 1500—В.

Посмотрим на схемы раскроя № 2 и № 3, которыми мы решили пользоваться поровну. Если взять два листа и один раскроить по способу № 2, а второй — по способу № 3, то получится 3 заготовки Л и 15 заготовок В. Нам же, как известно, нужно ровно в сто раз больше заготовок каждого типа. Значит, общее необходимое количество листов будет: 2ХЮ0 = 200 листов.

Отсюда ясно и как будет выглядеть наилучший план раскроя. Вот он.

Половина листов раскраивается по способу № 2. Полу­чается: 100X2 = 200 заготовок Л, 100X6 = 600 загото­вок В.

Вторая половина листов раскраивается по способу № 3. Получается: 100X1 = 100 заготовок А, 100X9 = 900 заго­товок В.

Всего же раскраивается 200 листов. Из них получается 300 заготовок А и 1500 заготовок В, что и требовалось по заданию. А чем же этот план лучше других?

Па этот случай у нас есть такой любопытный ответ.

Предположим, что заводские инженеры не знали совре­менных методов раскроя и произвели его без расчета, «на глаз». При этом они остановились на плане раскроя тех же двухсот листов способами № 1 и № 3.

Для того чтобы количество заготовок А оставалось рав­ным 300, способом № 1 раскраивалось 50 листов, а спосо­бом № 3 — 150 листов.

И вот что получилось.

50 листов, раскроенных по способу № 1, дали:

50X3 = 150 заготовок А, 50X1 = 50 заготовок В.

150 листов, раскроенных по способу № 3, дали:

150X1 = 150 заготовок Л, 150X9 = 1350 заготовок В.

Всего же раскраивается 200 листов. Из них получается 300 заготовок А и 1400 заготовок В.

А куда же девалось 100 заготовок В? Ведь в нашем наи­лучшем плане их было 1500.

Их «съел» плохой план. Все они ушли в отходы. Мате­риал оказался неиспользованным.

Таким образом, правильное планирование раскроя даже в такой скромной задаче, как наша (разрезается всего 200 листов), экономит целых 600 квадратных метров этого ценного материала.

100 заготовок ВХ 2 метра ХЗ метра = 600 квадратных метров.

^Теперь можно ответить и на вопрос: как выкроить лиш­ний автомобиль? Для этого нужно вести раскрой металла с умом, по правилам науки, используя для сложных расче­тов электронно-вычислительные машины.

Кстати, кроить приходится не только металлические ли­сты.

Умный план раскроя необходим и там, где шьют одежду и обувь, режут бумагу для книг и тетрадей, вырезают стек­ла и зеркала.

И всюду этот план выкраивает что-нибудь очень нужное людям.

Выбор наилучшего плана перевозок или раскроя, так же как и нахождение верного курса маневра, имеют ту хо­рошую особенность, что всегда приводят к вполне опреде­ленному результату. И результат этот можно заранее точно предсказать. Сколько раз ни планируй перевозку руды — в одинаковых условиях план будет один и тот же. Сколько ни расчитывай курс атаки ракетного катера — для неиз­менной обстановки он будет одинаков.

В жизни, вместе с тем, довольно часто встречаются за­дачи, при решении которых результат заранее точно пред­сказать невозможно: от раза к разу исход может неожи­данно меняться по воле случая. Шарик Тома Сойера катит­ся по-разному.

Каким должно быть при этом решение?

Передаем слово теории вероятностей.