Фильм был очень интересный, попасть на него было трудно. Но все-таки школьники сумели раздобыть 100 билетов. Плохо только, что билеты достались в разные кинотеатры: в «Родину» — 60 билетов и в «Максим» — 40.

Кому в какой театр ехать?

Ребята жили в разных районах города: 50 — на Васильевском острове, 30 — в Купчине и 20 — на Петроградской стороне. Решили так: все 50 ва-силеостровцев поедут в «Родину», все 30 купчинцев — в «Максим», а петроградцев поделили пополам — по 10 человек в каждый кинотеатр.

Посмотрели кино. Фильм понравился.

Казалось бы, что в этой истории необычного?

А между тем, правильно распределить билеты не так просто, как кажется.

Хотя математика существует тысячелетия, освоили такие задачи люди совсем недавно.

Решением подобных задач как раз и занимается математическое планирование. Цель его — составить план так, чтобы результат был наилучшим, а расходы наименьшими.

Первое, что нужно сделать, приступая к составлению плана распределения билетов с помощью математического планирования, — изобразить схему задачи. Па схеме сразу видно, сколько ребят живет в каждом из трех районов города, а также сколько было у них билетов в тот и другой кинотеатры. Видно также, как ребята распределили билеты: районы города и кинотеатры соединены прямыми линиями — маршрутами. Цифры на линиях соответствуют числу ребят, поехавших по данному маршруту.

Удачен ли такой план распределения билетов?

Решим вначале, чего же мы от этого плана хотим, какова цель плана. Наверняка кому-то из ребят план нравился, а кому-то нет. У каждого была своя цель: одни хотели поехать поближе, другие — подальше. Кое-кому хотелось в новый кинотеатр «Максим», а кое-кому — в старый — «Родину». Но всем, конечно, хотелось попасть в кино.

А можно ли придумать такой план, чтобы он подходил для каждого, чтобы все считали его правильным? Оказывается, можно.

Для этого, составляя план, мы должны руководствоваться единой общей целью, например: сократить расходы на дорогу в кинотеатр.

И как мы увидим, окажется, что эти деньги действительно можно было бы здорово сэкономить, если бы ребята догадались правильно спланировать маршруты.

Составим несложную таблицу, из которой мы узнаем, сколько стоит проехать одному человеку в кинотеатр, туда и обратно. Пользуясь таблицей и зная маршруты культпохода, можно легко подсчитать, во что обошелся всем ребятам проезд. Для этого умножим число ребят, поехавших по каждому маршруту, на стоимость проезда в оба конца, а результаты сложим.

Для маршрута Васильевский остров — «Родина» расходы составят 800 копеек (50 человек X 16 копеек);

для маршрута Купчино — «Максим» 540 копеек;

для маршрута Петроградская сторона — «Родина» 80 копеек;

для маршрута Петроградская сторона — «Максим» 60 копеек.

Общий расход денег на дорогу получился весьма солидный: 800+540+80+60 = 1480 копеек = 14 рублей 80 копеек. А нельзя ли разработать какой-нибудь другой план, при котором все ребята побывают в кино, но проезд обойдется дешевле?

Переберем наудачу несколько различных маршрутов, подсчитаем расходы и выберем план, который мы условно назовем улучшенным.

По этому плану 30 василеостровцев направляются в «Родину» и 20 — в «Максим», все 30 купчинцев — в «Ро­дину», все 20 петроградцев — в «Максим».

Подсчитаем путевые расходы для улучшенного плана:

для маршрута Васильевский остров — «Родина» 480 ко­пеек;

для маршрута Васильевский остров — «Максим» 240 ко­пеек;

для маршрута Купчино — «Родина» 300 копеек;

для маршрута Петроградская сторона — «Максим» 3 20 копеек.

Общий расход = 480+240+300+120 = 1140 копеек = 11 рублей 40 копеек.

Без всякого труда удалось сэкономить целых 3 рубля 40 копеек — почти четверть всех денег. Сколько еще раз можно сходить на них в кино!

Самое интересное, чтот этот улучшенный план вовсе не обязательно лучший из всех. Возможно, существуют более удачные маршруты, и если их найти, план станет еще луч­ше, экономнее.

Тут есть над чем поломать голову...

Переведем условия нашей задачи на язык алгебры. Для этого обозначим буквой X количество ребят, едущих по ка­кому-нибудь маршруту. Например, Авр — это число ребят, направляющихся с Васильевского острова в кинотеатр «Ро­дина» (вр — первые буквы начального и конечного пунктов движения).

Теперь условие, которое на обычном языке звучит так: «Из пятидесяти василеостровцев какая-то часть может ехать в «Родину», а какая-то — в «Максим», — на языке алгеб­ры запишется:

50 = А^гвр+^вм

То же самое с купчинцами и петроградцами:

30 = Хкр+Хкм       (2)

20 = Хпр+Хпм      (3)

А то, что в кинотеатр «Родина» должно приехать всего 60 ребят, а в «Максим» — 40, будет выглядеть так:

60 = Хвр+Хкр+Хпр              (4)

40= Хвм+Хкм+Хпм             (5)

Нужно еще сформулировать математически и намечен­ную цель планирования: расходы на дорогу должны быть как можно меньше.

Вспомним, как мы подсчитывали расходы на дорогу по первому и улучшенному планам. В общем виде, с примене­нием всех наших икс, это выглядит так:

Общий расход =

= Л^гврХ16+А^гкрХ10+ХпрХ8+ХвмХ12+ ХкмХ18+ХпмХ6 =

= наименьшему возможному          (6)

Итак, у нас набралось шесть разных иксов:

Хвр, Хкр, Хпр, Хвм, Хкм, Хпм.

Для удобства расчета давайте выразим их через какие- нибудь два икса, например, через Хкм и Хпм.

Начнем с формулы (2), из которой сразу можно полу­чить:

Хкр = 30—Хкм.

Из формулы (3):

Хпр = 20—Хпм.

Из формулы (4):

Хвр = 60—Хкр—Хпр = 60—(30—Хкм)—(20 —Хпм) = 10+Хкм+Хпм. Из формулы (5):

Хвм=40—Хкм = Хпм.

Из формулы (6):

Общий расход = (10+^км+Хпм)Х16+(30—Х_Км)ХЮ-}-(20—Х_ПмХ8+ +(40—Хкм—Хпм)Х1²+^кмХ18+ХпмХ6==наименьшему возможному.

Или, после раскрытия скобок и приведения подоб­ных членов:

Общий расход =

= 1100+12Х*км+2Х*пм =

= наименьшему возможному.

Выпишем вместе все значения иксов, которые мы только что получили:

Авр==10+Акм+Апм;

Акр = 30—А'км;    (7)

Апр = 20—Апм;

Авм = 40—Акм—Апм. Общий расход=

= 1100+12Х^нм+2ХА'пм =

= наименьшему возможному.

Это и есть наилучший план, выраженный языком алгебры. Он показывает, как должны распределить­ся ребята по маршрутам, чтобы все попали в кино при наименьших расходах на дорогу.

Переведем теперь этот план на обычный язык.

Внимательно посмотрим на формулу общего расхода. Она-то и таит в себе разгадку наилучшего плана. Из этой формулы очевидно, что самым меньшим расход будет тогда, когда Хкм и Хпм окажутся равными нулю. Ведь при этом общий расход, как видно из формулы, станет наименьшим из всех возможных — 1100 копеек: 1100 копеек = 1100+ +12X0+2X0.

По что означает равенство нулю Хкм и Хпм?

Буквой X мы обозначали количество ребят, едущих по какому-либо маршруту. Следовательно, то, что Хкм и Хпм должны быть равны нулю, означает, что по маршрутам Купчино — «Максим» и Петроградская сторона — «Мак­сим» не должен ехать ни один человек.

Наилучший план начи­нает проясняться.

А как найти количество ребят, которые должны ехать по всем остальным направлениям?

Теперь это не составит большого труда.

Вернемся к алгебраиче­ской записи нашего наилуч­шего плана — форму­лам (7) — и подставим в нее уже известные нам зна­чения Хкм = 0 и Хим = 0.

Полминуты расчетов — и перед нами наконец то, что мы так упорно иска­ли, — наилучший план:

А'вр = 10+0+0 = 10 человек, Акр=30—0 = 30 человек,

Хпр = 20—0 = 20 человек,

Авм = 40—0—0 = 40 человек.

Составим схему этого плана.

Общий расход, как мы

уже знаем, здесь наименьший — 1100 копеек, или 11 руб­лей.

Это действительно наилучший план. Он дает экономию по сравнению с первым планом на целых 3 рубля 80 ко­пеек. И все это только за счет разумного планирования. Та­кой план, конечно, одобрили бы все ребята.

История с планом культпохода, конечно же, вымышлен­ная. Да и кому, скажете вы, придет в голову, собираясь идти в кино, составлять планы, думать над решениями... Но время, которое мы потратили на этот рассказ, не пропало зря. Наша история имеет довольно неожиданное продолже­ние.

На этот раз будем говорить о вещах достаточно серь­езных.