Командир космического корабля получил сигнал, которого ждал уже давно: подойти к орбитальной станции, произвести стыковку и перебраться на ее борт для дальнейшей работы.

Орбитальная станция — настоящий летающий остров — мчится в околоземном пространстве с немыслимой скоростью — шесть километров в секунду. Еще стремительней полет космического корабля: он может маневрировать со скоростью до восьми километров в секунду.

Первая задача, которую предстоит решить космонавтам, — произвести так называемое мягкое сближение. При этом скорость корабля по мере сокращения расстояния постепенно уравнивается со скоростью станции, с таким расчетом, чтобы к моменту полного сближения быть с ней одинаковой. Тут-то и производится стыковка. Ведь когда корабль и станция движутся рядом с равными скоростями, то относительно друг друга они неподвижны.

Космические объекты, в том числе наш корабль и орбитальная станция, движутся по сложным траекториям, в соответствии с законами небесной механики. Строгий расчет мягкого сближения сложен и нам явно не под силу.

Поэтому рассмотрим лишь грубо приближенную модель зтой интересной задачи. Будем считать, что оба наши объекта — корабль и станция — движутся по прямым линиям с постоянными скоростями. Примем также условно, что командир космического корабля рассчитывает вначале полное сближение с орбитальной станцией на полной скорости, а уж затем, где-то на подходе, гасит скорость до необходимой величины.

Итак, требуется произвести маневр полного, сближения (как говорят, сближения вплотную) космического корабля А (скорость 8 километров в секунду) с орбитальной станцией В (скорость 6 километров в секунду). Будем считать, что в начальный момент корабль находится под углом 60^ по отношению к курсу станции (этот угол называется курсовым углом), на расстоянии от нее 1000 километров.

Что значит рассчитать сближение вплотную? Мы уже решали подобные задачи сначала совместно с милицией, а затем с зенитчиками и знаем, что прежде всего нужно найти направление, ведущее к сближению. Для этого требуется знать угол упреждения.

Милиции и зенитчикам повезло: при расчетах угла упреждения они имели дело с прямоугольными треугольниками, и задача решалась довольно просто. Командиру космического корабля предстоит отыскать более трудное решение. Здесь треугольник АВС не прямоугольный, и придется проявить изобретательность.

Следует рассуждать так. Представим себе, что сближение вплотную уже состоялось и наши космические объекты встретились в точке С. Но это означает, что путь космического корабля до точки встречи (АС) равен произведению скорости этого корабля на время сближения, а путь орбитальной станции до точки встречи (ВС) равен произведению скорости орбитальной станции на время сближения. Теперь вспомним теорему синусов из тригонометрии: синусы углов треугольника относятся как противолежащие этим углам стороны. В нашей задаче это означает, что Время сближения, к счастью, сокращается, и мы получаем довольно простую формулу для расчета угла упреждения .

По таблицам синусов найдем: угол упреждения равен 40,5°.

Наша формула пригодна для решения любого треугольника, а значит — и для любого случая сближения вплотную.

Проверим теперь, правильно ли были рассчитаны углы упреждения в задачах о погоне за бандитом и о стрельбе ракетой по вражескому самолету.

Вначале найдем угол упреждения для перехвата бандита на шоссе: 60

sin угла упреждения= s*n 90 =0,5X1*0 = 0,5,

а сам угол упреждения равен 30°.

А вот чему равен по нашей формуле угол упреждения зенитной ракеты:

707

sin угла упреждения= J000Sin 90 =0,707X1*0=0,707,

а сам угол упреждения равен 45°.

Следовательно, ошибок не произошло.

Самое интересное во всех этих расчетах то, что угол упреждения совершенно не зависит от расстояния между теми, тсто сближается. А раз так, то, значит, этот угол от начала до конца манерра не меняется. Поэтому, как показано на рисунке, направление космического корабля на орбитальную станцию все время остается постоянным.

Помимо направления сближения, командиру космического корабля приходится решать еще одну задачу: сколько нужно времени для того, чтобы подойти к орбитальной станции вплотную? Или короче — каково время маневра?

Ответить на этот вопрос нам помогут два треугольника: BCN и ACN.

Стороны этих треугольников BN и NA в сумме равны начальному расстоянию В А :

начальное расстояние = BN-\-NA.

BN ищем в треугольнике BCN:

BN=скорость орбитальной станцииХвремЯ сближениях Xcos курсового угла.

NA находим из треугольника ACN: AM = скорость космического корабля X время сближения X Xcos угла упреждения.

Теперь, зная, чему равны слагаемые, можно написать:

начальное расстояние = BN-\-NA = скорость орбитальной станции X X время сближения X cos курсового угла + скорость космического корабля X время сближения X cos угла упреждения.

Из этого следует, что интересующее нас время сближения равно:

                начальное расстояние              

скорость о. c.Xcos кур. уг.+скорость к. k.Xccs уг. упр. '

Подставим числа.

1000 1000

Время сближения— 6.cos 60o-)-8-cos 40,5° ~ 6-0,5+8 0,758 —

1000 1000 —3,0+6,08 —               9,08       —110 сек-

Итак, примерно через две минуты космический корабль, преодолев колоссальное, по земным представлениям, расстояние в 1000 километров, подойдет вплотную к станции. Своевременное торможение, мягкое сближение, стыковка — и вот уже космонавтов встречают на борту орбитальной станции. Можно рапортовать на Землю о том, что задание выполнено.

С задачей сближения вплотную, которую мы только что освоили, нам предстоит еще одна встреча. На этот раз в тумане.