И. А. Акчурин

Идея информационной емкости [1] позволяет предсказать, что в самом ближайшем будущем топологические методы начнут, по-видимому, определять дальнейшие пути развития даже такой, казалось бы, независимой, имеющей чисто аксиоматическое построение дисциплины, как абстрактная теория поля. Дело в том, что относительно недавно было доказано, что основные математические средства последней — обобщенные функции (распределения, дистрибуции)—являются не только определенными функционалами. Как показал японский математик Микио Сато, обобщенные функции представляют собой прежде всего некоторые группы относительных когомологий определенных пространств [2].

Поэтому есть все основания ожидать, что рано или поздно надо переформулировать всю современную абстрактную теорию поля с точки зрения какой-то, совсем не тривиальной топологии. Именно на этом пути, по нашему мнению, произойдет очень важный для судеб дальнейшего развития физической науки процесс ее математической модернизации. Он затронет прежде всего ее очень старые понятия (например, причинность) и позволит их выразить на точном, однозначном и недвусмысленном языке современной математики — так, что бы они стали применимыми к объектам огромной информационной емкости.

Понятие причинности в этом отношении, кажется, вплотную подошло уже в новейших работах по пучкам алгебр фон Неймана над физическим пространством к своей более или менее современной формулировке как свойства когерентности определенных алгебраических и одновременно аналитических пучков. Как раз здесь можно ожидать «второго рождения» таких методов, как дисперсионные соотношения или комплексные угловые моменты, которые станут благодаря этой математической модернизации применимыми к физическим объектам огромной информационной емкости.

Известный «кризис жанра» в этих направлениях исследований в последние годы был обусловлен, видимо, тем немаловажным обстоятельством, что они формулируются пока что лишь в рамках традиционной физической схемы объектов обычной информационной емкости. А в то же время абстрактная теория поля или все самые различные теоретико-групповые методы с самого начала строятся как теории объектов огромной, экспоненциальной информационной емкости — пусть неявно, не всегда осознанно или, во всяком случае, уж не сознательно. И поэтому, поскольку физика все более и более погружается в мир этих принципиально новых объектов, эти два направления в известном смысле «процветают» в последние годы, в то время как «дисперсионщина», «полюсология» и «реджистика» вышли из моды.

Математическую базу модернизации всех этих последних направлений должны составить, по нашему мнению, новейшие «бурбакистские» методы теории функций многих комплексных переменных, основанные на понятии пучка ростков аналитических функций над данным пространством, когомологий последнего с коэффициентами в этом пучке, когерентности пучков при определенных отображениях и т. д. Здесь, по-видимому, могут быть установлены весьма глубокие связи с теоретико-групповыми методами исследования новых симметрий элементарных частиц — благодаря общим теоремам соответствия Серра, которые устанавливают далеко идущие изоморфизмы теорий, изучающих «алгебраические» свойства объектов огромной информационной емкости, и теорий, исследующих поведение связанных с этими объекта ми голоморфных и мероморфных функций многих комплексных переменных (знаменитые ГАГА-теоремы Серра).

Именно на этом пути, кажется, можно ожидать установления новых и строгого доказательства старых свойств аналитичности амплитуд рассеяния,— благодаря существованию общих теорем двойственности Серра— Гротендика, позволяющих по алгебраическим группам когомологий определенного ранга делать заключение о группах когомологий дополнительного ранга, вычисленным с помощью пучков аналитических функций. Огромное значение будет иметь здесь выявление совсем недавно А. Гротендиком очень интересного когомологического смысла понятия вычета, играющего столь большую роль во всех физических теориях, использующих свойства аналитичности некоторых функций [3].

Но этот процесс математической модернизации старых методов теории элементарных частиц будет только одной стороной более широкого и глубокого процесса такой модернизации всей физической науки и прежде всего ее наиболее глубоких понятийных, концептуальных основ, Самые радикальные, поистине революционные преобразования всего нашего физического способа «вйдения» мира будут здесь связаны, по-видимому, с когомологической модификацией и пополнением основных аксиом абстрактной теории поля; с модификациями и пополнением, учитывающими совершенно новые, топологические свойства материи на уровне ее организации в виде элементарных частиц.

Пока что, как известно, основные аксиомы абстрактной теории поля почти все являются всего лишь некоторыми ограничениями (причем в большинстве случаев далеко еще не ясно, насколько эти ограничения корректно сформулированы). А из одних ограничений новая фундаментальная физическая теория еще никогда не вырастала — для создания таковой всегда нужны были прежде всего какие-то совершенно новые, не тривиальные физические идеи. И Ньютон, и Максвелл, и Лоренц, и Планк, и Эйнштейн, и Бор, и де Бройль, и Гейзенберг, и Дирак шли именно по этому пути.

Рано или поздно физике придется искать какую-то обобщенно-пространственную интерпретацию новых групповых свойств симметрии элементарных частиц, и, по нашему мнению, для объектов экспоненциальной информационной емкости это возможно только на языке абстрактных схем и предсхем Гротендика — они выступают некоторым современным аналогом, довольно отдаленным, правда, общей теории абстрактных многомерных пространств математики прошлого века, сыгравших столь существенную 'роль в построении основных физических теорий того времени [4].

И точно так же как веками и вместе с тем с детства воспитанная наглядная интуиция очень долго мешала физикам того времени представить и изучить в чистом виде, скажем, шестимерное фазовое пространство механики, так и в наше В)ремя надо будет довольно долго привыкать к несравненно более абстрактным и ненаглядным «пространствам» предсхем и схем Г.ротенди-ка, «осваиваться» в «работе с ними. Это ведь очень необычно устроенные объекты.

Если в обычных пространствах координатный метод Декарта позволяет сопоставить, например, геометрической траектории материальной точки некоторое уравнение, то в этих пространствах огромной информационной емкости, вообще говоря, уже нельзя ввести никакое подобие координат.

Метод Декарта здесь уже не «работает».. Место координат занимают так называемые гомологии и когомологии— это, так сказать, «закрученные» и «перекрученные» остатки координатных осей, своего рода единственные остающиеся «колышки», «опорные столбы» в пространствах неэвклидовой и негильбертовой информационной емкости. На них мы можем теперь единственно надеяться «вешать» какие-то совершенно новые математические соотношения, характеризующие материальное движение в области очень малых расстояний и соответственно очень больших энергий.

Ситуация действительно очень тяжелая: координат — нет, расстояний — нет, надо искать какие-то их очень абстрактные, не наглядные заменители. «Летят», по-видимому, все наши самые основные физические понятия, которые мы впитали на первых уроках физики, так сказать, с нашим первым «физическим молоком», и которые с тех пор незримо присутствуют уже в любом нашем физическом умозаключении. Например, понятие «внут ри» — его, по-видимому, просто нет в мире элементарных частиц: ведь оно существенно основано на обычной, классической топологии «вырезания» подмножества из множества, а фейнмановская формулировка квантовой теории строго доказывает, что в микромире реально имеет место совсем иная топология — топология Гро-тендика.

Понятие «внутри» также фундаментально связано до сих пор с понятием линейной зависимости, .прямой пропорциональности, которая также со времен Галилея, Гука и Ньютона составляет довольно существенную часть того, что называют «духом» физики, физическим смыслом какого-то явления или соотношения. Вспомните опять же первые уроки физики или даже арифметики: их абсолютно нельзя даже представить себе без прямой пропорциональности, линейной зависимости — это показывает, насколько глубоко присуще нашей интуиции это понятие.

И с ним также придется распрощаться в мире наших объектов огромной информационной емкости: его место займут так называемые точные последовательности — обобщения этой самой линейной зависимости на наш случай, а в более сложных ситуациях — еще и спектральные последовательности. Точную последовательность образуют группа, ее подгруппа и ее факторгруппа по этой подгруппе. Современные попытки просто «умножить» группу Лоренца на новые группы симметрии сильных взаимодействий являются своеобразным аналогом поисков Галилеем условий, в которых характеристики движения тел являются простыми линейными функциями времени (которое ему приходилось измерять по ударам собственного сердца). Он и Ньютон нашли в конце концов, как известно, что причиной отклонений от линейности изменений со временем координат движущих тел являются некоторые силы. Нам также еще предстоит искать и искать, почему нельзя просто «перемножить» между собой группу Лоренца и новые унитарные группы симметрии.

Этому мешают какие-то новые «силы», но они действуют, и их закономерности можно сформулировать, вероятно, только в достаточно емких информационно пространствах современной алгебраической геометрии — теории предсхем и схем Гротендика, теории алгебраиче ских и аналитических когерентных пучков над ними и т. п.

Нам кажется, что новейшие теоретические исследования Л. Мишеля по расширениям группы Лоренца и М. Фрауссара, П. Федербуша и других по гомологиям диаграмм Фейнмана, а также более старые работы Ч. Мизнера по когомологиям замкнутых, несвязных пространств Эйнштейна как раз вплотную подходят к такого рода наделению физическим смыслом некоторых из почти неисчерпаемого запаса самых странных и «экзотических» пространств, которые может поставить теории элементарных частиц современная алгебраическая топология.

Перечисленные выше работы убедительно показывают, что будущая теория субмикропроцессов вряд ли будет теорией некоторых уравнений,— этот последний способ формулировки физических закономерностей безнадежно устарел в наше время; он способен отразить слишком малое количество информации. Будущая общая теория элементарных частиц будет, грубо говоря, наделенной физическим смыслом алгебраической топологией (подобно тому, как постулаты квантовой механики составляют не что иное, как наделенные физическим смыслом постулаты теории гильбертовых пространств). И основную роль в этой теории будут играть не уравнения, а, по-видимому, так называемые спектральные последовательности — определенные последовательности групп, которые характеризуют «устройство» (спектр) топологических пространств — то, по какому закону примыкают, прилегают друг к другу все, самые разнообразные типы и разновидности их подмножеств.

Вопрос относительно реальной топологии физического пространства на очень малых расстояниях — это вопрос относительно того, как на самом деле выделяются, фиксируются в нем любые, сколь угодно малые подмножества некоторого множества. До самого недавнего времени (1956—1962 гг.) наука знала всего лишь одну топологию— классическую, тривиальную топологию «выре* зания», в которой выделение определенного подмноже* ства производится как бы его «вырезанием» из данного множества, а образование пересечения двух подмножеств— последовательным проведением друг за другом таких вырезаний, соответствующих последовательному выделению таким способом каждого из исходных подмножеств в отдельности.

Талантливейший математик современности — по мнению многих, даже математик № 1 наших дней — Александр Гротендик впервые за много веков развития своей науки смог придумать на рубеже середины нашего столетия совершенно новую топологию — топологию определенных отображений и произведений, топологию Гро-тендика {5]. Он использовал при этом давно известные свойства «двойственности», грубо говоря, «взаимозаменяемости» друг другом в определенных условиях вырезаний и некоторых отображений. Оказывается, все построения, весь алгебраический аппарат обычной топологии (когомологии и т. д.) остаются в полной силе, если всюду предположить совершенно радикальное изменение в интерпретации самой топологии — вместо вырезаний всюду иметь в виду уже некоторые отображения задаваемых, фиксируемых подмножеств. Тогда уже пересечение двух подмножеств должно задаваться их определенным прямым произведением.

Вот здесь мы и приходим к предположению, что в микромире, на расстояниях порядка одного ферми (10~13 см), происходит переход от обычной топологии вырезания микромира к принципиально новой топологии отображений Гротендика. Дело ведь в том, что в достаточно малых «подмножествах» /реального физического пространства микромира, на достаточно малых расстояниях от данной частицы, всегда возможно появление виртуальных частиц (одиночных или пар, в зависимости от их электрического или барионного заряда). Тем самым «очень малые» подмножества реального физического /пространства получают отображение в некоторое новое гильбертово пространство состояний с новыми базисными ортами, характеризующими возможность «наличия» новых виртуальных частиц.

Перед нами — типичная топология Гротендика: все более и более уменьшающиеся подмножества задаются не «вырезаниями», а некоторыми отражениями в пространства состояний виртуальных частиц все большей и большей массы. Пересечения же этих очень малых (менее 1 ферми в «диаметре») подмножеств задаются уже прямым произведением соответствующих пространств виртуальных состояний. Изучение топологий Гротендика серьезными математическими средствами еще только начинается, но уже получен ряд очень интересных результатов. Так, сам Гротендик и молодой американский математик Майк Артин получили нечто вроде принципа соответствия для новой топологии: при выполнении определенных условий (физический смысл которых еще надо исследовать и исследовать) топологию отображений можно свести к классической, тривиальной топологии вырезаний. Американец Стив Шатц получил очень важные теоремы двойственности для когомологий в новой топологии и показал, что, вообще говоря, объекты, обладающие топологией Гротендика, ведут себя довольно патологически — их так называемая когомологическая размерность почти всегда равна бесконечности. Этот результат принципиально важен для физики: именно такова же когомологическая размерность пространства всех путей из начальной точки в конечную Фейнмана.

Качественно весьма своеобразную, '.принципиально отличную друг от друга природу могут иметь пространства сильных, слабых, электромагнитных и гравитационных взаимодействий и в отношении их чисто теоретикомножественных свойств. Мы имеем здесь в виду поведение соответствующих вакуумов в отношении выполнимости или невыполнимости в них знаменитой континуум-гипотезы Георга Кантора.

Как известно, совсем недавно молодой американский математик Поль Коэн доказал совершенно строго предположение Курта Геделя, сделанное им в 1947 г., о том, что континуум-гипотеза никак не зависит от аксиом теории множеств и должна добавляться к ним в качестве дополнительного постулата. Тем самым с континуум-гипотезой повторяется история, случившаяся в прошлом столетии со знаменитым постулатом о параллельных: Лобачевский, Больяи, Гаусс и Риман, показав возможность геометрий, в которых он не выполняется, тем самым, как известно, перевели проблему параллельных из ранга чисто математических проблем в ранг проблем физических, и Гаусс даже надеялся решить ее сам чисто экспериментальным путем. Эго удалось сделать только столетие спустя — благодаря созданию общей теории относительности и ее экспериментальной проверке во время солнечных затмений. В наше время совершенно аналогичная ситуация может случиться и в общей теории элементарных частиц: для одних взаимодействий между счетной бесконечностью и континуумом могут оказаться существующими еще и промежуточные классы бесконечных множеств, а для других взаимодействий континуум-гипотеза может стать экспериментально проверяемым в этой общей теории фактом — для множеств, возникающих в результате этих взаимодействий, мощности счетной бесконечности и континуума будут непосредственно следовать друг за другом без каких-либо промежуточных «ступенек» бесконечности.

Исторически, кстати говоря, основным стимулом развития Кантором общей теории множеств как раз была его идея о том, что 'различные виды физических объектов (поле и вещество, тепловые и электромагнитные явления) могут иметь совершенно различные теоретикомножественные свойства, которые он надеялся положить в основу теоретического объяснения качественного своеобразия различных, известных к тому времени разделов физики.