И. Т. Тодоров

Применение групп в теории элементарных частиц стало модой после того, как зимой 1964 г. был обнаружен £2_-гиперон с такой же массой и с такими же свойствами, какие предсказал Гелл-Манн в 1962 г. на основе предположения о «приближенной симметрии» SU(3). Первые систематические упоминания о теории представлений групп в физике тоже относятся к не очень далекому прошлому, а именно к концу двадцатых и к началу тридцатых годов, когда Герман Вейль и Ван дер Варден показали, что созданная незадолго до этого квантовая механика очень естественно формулируется в терминах теории представлений.

Между тем, принципы симметрии, или, что то же самое, инвариантность законов природы относительно некоторой группы преобразований, по сути дела присутствовали в физике намного раньше, задолго до появления (в XIX в.) самого термина «группа» в математике. Знаменитый закон инерции, или, как теперь его называют, «принцип относительности Галилея», есть не что иное, как принцип инвариантности законов механики относительно равномерных, прямолинейных движений системы отсчета (т. е. относительно так называемой «группы Галилея»). Фактически, некоторые уточнения этого же принципа, учитывающие существование предельной скорости «с» (что приводит к замене группы Галилея группой Лоренца), легли в основу специальной теории относительности Эйнштейна. Основными законами сохранения в физике являются законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения, связанные с инвариантностью относительно группы движения пространства-времени —<группы Пуанкаре.

Вообще принципы инвариантности являются самыми общими, самыми фундаментальными законами природы. Они относятся к частным закономерностям таким же образом, как и сами эти закономерности относятся к отдельным событиям в природе1. Общность симметрии различных лангранжианов (или уравнений) приводит к общности законов сохранения (теорема Нетер).

Роль теории групп в квантовой механике значительно больше, чем в классической физике. Впервые в квантовой механике нашла применение теория (линейных) представлений групп1 2. Это связано е тем, что в кванто вой механике имеет место принцип суперпозиции состояний, не имеющий аналога в классической физике. Этот принцип позволяет разложить произвольное состояние по векторам, преобразующимся по неприводимым (унитарным) представлениям группы симметрии. Наличие симметрии обусловливает существование нескольких линейно независимых векторов с одной и той же энергией, т. е. вырождение собственных значений гамильтониана. Размерность неприводимых представлений группы дает степень вырождения. Полный набор коммутирующих операторов алгебры Ли группы симметрии определяет систему одновременно измеримых физических величин, задание которых вместе с энергией однозначно определяет физическое состояние. Так, основные физические величины возникают как генераторы или как функции от генераторов группы симметрии. Энергия и импульс определяются как инфинитезимальные операторы сдвигов по времени и в пространстве. Момент импульса дается генераторами вращений в пространстве — времени. Все эти величины связаны с самой фундаментальной симметрией в природе — с геометрической симметрией пространства — времени, поэтому они применимы к любой физической системе в любой теории.

Наряду с геометрической симметрией в последние десятилетия особое развитие получило изучение динамических симметрий, относящихся к отдельным классам взаимодействий, например к сильным взаимодействиям элементарных частиц. Собственные значения генераторов группы симметрии сильных взаимодействий £/(2) = t)(l)y® St/(2)7 задают основные физические характеристики адронов: электрический заряд, гиперзаряд и изотопспин. Сохраняющемуся при всех взаимодействиях барионному числу соответствует однопараметрическая группа и{\)в фазовых преобразований барионных полей.

Важный пример динамической симметрии, относящийся к «классической» нерелятивистской квантовой механике, представляет собой нерелятивистская теория водородного атома, где симметрия гамильтониана задается группой вращений SO(4) в некотором четырехмерном пространстве, не имеющем прямого отношения к нашему физическому пространству.

Итак, роль групп и алгебр Ли в квантовой теории (по крайней мере) двояка. Во-первых, группа симметрии определяет степень 1ВЫрождения собственных значений гамильтониана. Во-вторых, эрмитовы генераторы алгебры Ли дают естественный набор наблюдаемых, знание которых полностью характеризует физическую систему. Для выполнения этой второй роли от группы на самом деле не требуется, чтобы она задавала симметрию. Чтобы все-таки классификация состояний по неприводимым представлениям группы не была произвольной, необходимо потребовать, чтобы для каждого значения энергии собственные векторы гамильтониана принадлежали определенному неприводимому представлению группы (а не являлись смесью разных представлений), другими словами, чтобы гамильтониан не имел отличных от нуля матричных элементов между векторами, принадлежащи М'И разным неприводимым представлениям группы. Для этого необходимо, чтобы инвариантные операторы алгебры (называемые операторами Казимира) коммутировали с гамильтонианом. Примером группы, по-видимому, удовлетворяющей этому условию, является группа SU(6), объединяющая спиновую и унитарную симметрии. Наоборот, группа SU(3) заведомо не удовлетворяет сформулированному условию отсутствия -смешивания, так как каждый из ф- и оо-мезонов является смесью унитарного синглета и восьмой (нейтральной) компоненты октета. Группа внутренней симметрии W^=U (3)(х) ® U (3), соответствующая симметрии как по кварковым, так и по антикварковым индексам, в отдельности могла бы в этом смысле лучше служить для классификации частиц, поскольку все девять векторных мезонов объединяются в одно неприводимое представление (3, 3 *) этой группы.

Мы намеренно не пользовались часто встречающимся термином «приближенная симметрия» для характеристики групп типа SU (6) или W3. Во-первых, эти «симметрии» (если их можно так назвать) весьма сильно нарушены, что видно, например, из больших разностей масс мезонов, входящих в один мультиплет (я-мезон более чем в шесть раз легче х°- -и ф-мезонов). Во-вторых, успех в использовании этих групп для классификации частиц и для получения массовых формул и соотношений между магнитными моментами вызван не тем, что в каком-то приближении эти группы являются точными симметриями, а скорее наоборот, тем, что основные физические величины — гамильтониан (или квадрат массы), магнитный момент и пр. — могут быть выражены как функции генераторов группы. Польза рассмотрения алгебры Ли, не коммутирующей с гамильтонианом, но в терминах генераторов которой выражается гамильтониан, была обнаружена еще раньше в ядерной физике [3].

Иногда противопоставляют групповые методы структурным моделям. Между тем развитие теории в последние десятилетия недвусмысленно показывает, что как в ядерной физике, так и в физике элементарных частиц модели и групповые методы всегда идут рука об руку. Часто они просто сводятся к разным выражениям одного и того же подхода.

Групповой подход выделяет существенные черты данной модели (или класса моделей), отвлекаясь от второстепенных деталей. Например, использование групп W3 или SCJ (6) в теории элементарных частиц приводит к тем общим следствиям модели кварков, которые не зависят, например, от конкретного вида потенциала, связывающего кварки в мезоны и барионы. Извлечение этих общих следствий полезно, в особенности на данном этапе, когда мы весьма далеки от создания настоящей структурной теории элементарных частиц. Не надо, од-наяо, думать, что групповая картина возникает всегда после того, как имеется некоторая «более физическая» составная модель. Например, так называемый восьмиричный путь в теории унитарной симметрии представлял собой в первых работах Гелл-Мана и Неемана 4 чисто групповой подход к систематике элементарных частиц. Лишь затем на его основе была развита кварковая модель частиц и резонансов.

Мы уже видели, что для применения неприводимых представлений некоторой алгебры Ли для классификации состояний данной физической системы вовсе не является необходимым, чтобы эта алгебра задавала симметрию, т. е. чтобы ее операторы коммутировали с гамильтонианом. Вполне допустимо, чтобы в одно неприводимое представление алгебры входило несколько собственных значений энергии. Крайним случаем этого типа (противоположным случаю строгой симметрии) является алгебра, в пространство одного неприводимого представления которой входят все собственные векторы гамильтониана, а следовательно, и любое состояние системы. Такая алгебра Ли называется алгеброй, порождающей спектр5 (сокращенно а. п. с.).

Реальные физические системы, с которыми мы имеем цело в квантовой теории, имеют бесконечное число различных возможных состояний. В соответствии с этим гамильтониан физической системы имеет бесконечное множество собственных значений и собственных векторов. Таким образом, для того чтобы алгебра Ли некоторой группы могла быть а. п. с. реальной системы, необходимо, чтобы у нее были бесконечномерные неприводимые унитарные представления. Из теории представлений известно, что единственными группами (элементы которых зависят от конечного числа параметров), обладающими такими свойствами, являются некомпактные группы 6.

Классическим примером а. п. с. является алгебра Ли группы де Ситтера SO (4, 1) в отношении нерелятивистского водородного атома 7. Мне кажется, что до сих пор знание а. п. с. водородного атома не использовано до конца и мы еще не достигли полного теоретико-группового понимания этой старой квантовомеханической задачи. Во всяком случае, работы в этом направлении продолжаются до сих пор [6—8] (в [6] имеются также ссылки на классические работы Паули, Фока и Баргма-на). Важность такого понимания связана с надеждой применения методов теории представлений некомпактных групп в физике элементарных частиц. Имеются многочисленные попытки в этом направлении (см., например, цитированные сборники [3, 5]), но нельзя сказать до сих пор, что достигнут настоящий успех. Вместе е тем уже сейчас применение унитарных представлений некомпактных групп поставило новые интересные вопросы, связанные с рассмотрением квантованных полей с бесконечным числом компонент. Возникает новый подход в старой проблемё о форм-факторах и «структуре частиц».

Подведем некоторые итоги.

Мода в физике столь же недолговечна, как и в одежде. Мы уже являемся свидетелями отхода от чрезмерного увлечения чисто групповыми методами (которое достигло своего максимума полтора-два года назад). Но мне кажется, что групповой подход в физике не сводится к увлечению очередной моды, что методы теории представлений, наряду с другими методами, будут играть и в будущем важную роль в понимании микромира.

Вряд ли имеет смысл пытаться предсказывать, что именно из групповых методов и связанных с ними идей найдет развитие и применение в теории элементарных частиц. Вместо этого в заключение коротко обсудим некоторые «упреки» в адрес групповых методов в свете того, что уже говорилось.

1)            Нередко противопоставляют групповой подход динамическому, считая, что первый из них формальный и феноменологичный, в то время как второй дает настоящее физическое понимание. Не входя в дискуссию по этому вопросу, мы напомним, что наиболее общее (и наиболее глубокое) понимание законов сохранения энергии-импульса и момента достигается именно на основе выявления симметрии пространства — времени, или, что то же,— на основе инвариантности законов природы относительно группы Пуанкаре. Строгие законы сохранения зарядов сегодня неизменно связываются с инвариантностью относительно .различных градиентных преобразований.

2)            Мы уже говорили об искусственности противопоставления групповых методов и структурных моделей. Его можно было бы сравнить спротивопоставлением аналитического и геометрического выражения одного и того же факта. В точности так же, как анализ и алгебра используются не только для записи известных геометрических фактов, но и для открытия новых, и теория групп, в особенности в отношении внутренних симметрий элементарных частиц, часто приводила к новым результатам, для которых лишь затем придумывали более «наглядные истолкования».